拓扑空间是拓扑学（形状结构的数学）中研究的空间。大致来说，它是一组事物（称为点）以及知道哪些事物靠近的方法。
更准确地说，一个拓扑空间有某种集合，称为开放集。开放集很重要，因为它们允许人们谈论另一个点附近的点，称为该点的邻域。一个点的邻域只是一个包含该点的开放集。如果人们没有开放集的概念，就不能很好地定义邻域。如果我们试图将一个点的邻域定义为包含该点的任何集合，那么它可能只包括该点和该点，而不包括它附近的任何点，或者远处的点。我们还有闭集的概念，闭集是开集的补充。也就是说，所有不属于某个开放集的点都构成一个闭集。
开集必须遵循一定的规则，这样它们才符合我们的近似观念。任何数量的开放集的结合必须是开放的，而有限数量的封闭集的结合必须是封闭的。(第二条规则只对有限数量的封闭集有效。这是因为在许多情况下，一个包含一个点的集合是封闭的。任何集合都是由点组成的。如果第二条规则适用于无限数量的封闭集，那么每个集都是封闭的。)作为一种特殊情况，包含每一个点的集合既是开放的又是封闭的。不包含点的集合也是既开放又封闭的。
一组点可以有许多不同的定义，什么是开放集。人们可以认为只有某些集合是开放的，或者更多的集合是开放的。甚至可以认为每个集都是开放的。同一个集，对开放集的定义不同，就会形成不同的拓扑空间。