二项式定理

基本上有三个二项式扩展公式。

我们可以用乘积的简单扩展来解释为什么有这样的3个公式。

( a + b ) =2 ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b = a +2 2⋅ a ⋅ b + b {2displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}.

( a - b ) = 2( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b = a 2-2 ⋅ a ⋅ b + b {2displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2} }

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a2 - b {2displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2} }

如果n {displaystyle n}是一个整数（n∈Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }），我们使用帕斯卡尔三角形。

要展开( x + y ) {2displaystyle (x+y)^{2}}。

• 找到帕斯卡尔三角形的第2行（1，2，1）。
• 扩展x {displaystyle x}和y {displaystyle y}，因此x {displaystyle x}的功率从n {displaystyle n}到0每次下降1，y {displaystyle y}的功率从0到n {displaystyle n}每次上升1。
• 将帕斯卡尔三角形中的数字乘以正确的项。

所以 ( x + y ) =2 x 1y2 +0 x 2y 1+1 x1 y {02displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}] 。

比如说。

( +3 x2 ) =2 132⋅ ( x2 ) +0 231⋅ ( x2 ) +1 130⋅ ( x 2) = 2+9 x12 + x {42displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}} 。

因此，作为一项规则。

( x + y ) n = a x 0n y +0 a x1 n -1 y + 1a x 2n - 2y + 2⋯ + a n -1 x y1 n - 1+ a n x y0 n {displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+ a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

其中a i {displaystyle a_{i}}是帕斯卡三角形中第n行{displaystyle n}和第i位置{displaystyle i}的数字。

实例

( +5 x3 ) =3 153⋅ ( x3 ) +0 352⋅ ( x3 ) +1 351⋅ ( x ) +2 150⋅ ( x 33) {3displaystyle(5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}} 。

= +125 75⋅ x 3+ 15⋅ x 9+2 1⋅ x 27= 3+125 x225 + x 135+ 2x {\273displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3})

(5 -3 x ) =3 153⋅ ( -3 x ) +0 352⋅ ( -3 x ) +1 351⋅ ( -3 x ) +2 150⋅ ( -3 x ) {\3displaystyle （5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}。

= +125 75⋅ ( -3 x ) + 15⋅ x 9+2 1⋅ ( -27 x ) 3= 125-223 x + x1352 - 27x {3displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot ( -27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}。

( +7 x4 ) 2=5 175⋅ ( x4 )2 +0 574⋅ ( x4 ) 2+1 1073⋅ ( x4 ) 2+2 10⋅ ( x4 ) 2+ 37271⋅ ( x ) 2+4 5170⋅ ( x 44) {25displaystyle ( 7+4x^{2})^{5}=1\cdot7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}] 。

= +16807 12005⋅ x 4+2 3430⋅ x 16+4 490⋅ x 64256+68 351⋅ x {\102410displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10})

= +16807 x 48020+ 24x5488031360 + x 8960+ 86x {\102410displaystyle\,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10})