弹性碰撞

考虑两个粒子，用下标1和2表示。设m₁ 和m₂ 为质量，u₁ 和u₂ 为碰撞前的速度，v₁ 和v₂ 为碰撞后的速度。

用动量守恒来写一个公式

由于是弹性碰撞，碰撞前的总动量与碰撞后的总动量相同。鉴于动量（p）的计算方法为

p = m v {displaystyle `,`p=mv}.

我们可以计算出碰撞前的动量为。

m 1 u 1 + m 2 u 2 {displaystyle\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}.

和碰撞后的动量为。

m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}.

将两者相等，我们就得到了第一个方程。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}。

利用能量守恒来写第二个公式

我们使用的第二条规则是，总动能保持不变，也就是说，初始动能等于最终动能。

动能的公式是：。

m v 2 2 {displaystyle {frac {mv^{2}}{2}}}.

因此，使用与之前相同的变量。初始动能是。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}} }

最终的动能是。

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 。{displaystyle {frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}。}

将两者设定为相等（因为总动能不变）。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 。{displaystyle {frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}。}

将这两个方程式放在一起

当u_i 已知时，这些方程可以直接求出v_i ，反之亦然。下面是一个样本问题，可以用动量守恒或能量守恒来解决。

比如说。

球1：质量=3公斤，v=4米/秒

球2：质量=5公斤，速度=-6米/秒

碰撞后。

球1：v = -8.5 m/s

球2：v = 未知 ( 我们将用v表示 )

使用动量守恒。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 。{\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {displaystyle 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}。

做完乘法后，再从两边减去3∗( -8.5 ) {displaystyle 3*(-8.5)} ，我们得到。

  12-30+25.5=5∗v {displaystyle 12-30+25.5=5*v}。

将左边相加，然后除以5 {displaystyle 5} ，我们就得到了。

7.5 5 = v {displaystyle {frac {7.5}{5}}=v} ，做最后的除法可以得到。   1.5 = v {displaystyle {frac {7.5}{5}}=v} 。

我们也可以用 "能量守恒 "来解决这个问题。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}} }

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {displaystyle {frac {3*4^{2}}{2}+{frac {5*(-6)^{2}}{2}={frac {3(-8.5)^{2}}{2}+{frac {5v^{2}}{2}}}.

两边都乘以2 {displaystyle 2} ，然后做所有需要的乘法，就可以得到。

  48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle 48+180=216.75+5v^{2}}

将左边的数字相加，从两边减去216.75 {displaystyle 216.75} ，再除以5 {displaystyle 5} ，就可以得到。

  2.25 = v 2 {displaystyle （2.25=v^{2} }

取两边的平方根，我们得到的答案是v=±1.5 {displaystyle v=\pm 1.5}。.

不幸的是，我们仍然需要使用动量守恒来计算出v {displaystyle v} 是正还是负。