弹性碰撞

弹性碰撞是指两个物体相撞后反弹,很少或没有变形。例如,两个橡胶球弹到一起就是弹性碰撞。两辆汽车相互碰撞则是无弹性的,因为汽车会皱缩,不会反弹回来。在完全弹性碰撞中(最简单的情况),没有动能损失,因此两个物体碰撞后的动能等于碰撞前的总动能。只有当动能没有净转换为其他形式(热、声)时,才会发生弹性碰撞。在处理弹性碰撞时要记住的另一条规则是,动量是守恒的。

不等质量的弹性碰撞的样本Zoom
不等质量的弹性碰撞的样本

一维牛顿理论

考虑两个粒子,用下标1和2表示。设m1m2 为质量,u1u2 为碰撞前的速度,v1v2 为碰撞后的速度。

用动量守恒来写一个公式

由于是弹性碰撞,碰撞前的总动量与碰撞后的总动量相同。鉴于动量(p)的计算方法为

p = m v {displaystyle `,`p=mv}. {\displaystyle \,\!p=mv}

我们可以计算出碰撞前的动量为。

m 1 u 1 + m 2 u 2 {displaystyle\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}. {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

和碰撞后的动量为。

m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}. {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

将两者相等,我们就得到了第一个方程。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}。 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

利用能量守恒来写第二个公式

我们使用的第二条规则是,总动能保持不变,也就是说,初始动能等于最终动能。

动能的公式是:。

m v 2 2 {displaystyle {frac {mv^{2}}{2}}}. {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

因此,使用与之前相同的变量。初始动能是。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}} } {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}

最终的动能是。

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 。{displaystyle {frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}。} {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

将两者设定为相等(因为总动能不变)。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 。{displaystyle {frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}。} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

将这两个方程式放在一起

ui 已知时,这些方程可以直接求出vi ,反之亦然。下面是一个样本问题,可以用动量守恒或能量守恒来解决。

比如说。

球1:质量=3公斤,v=4米/秒

球2:质量=5公斤,速度=-6米/秒

碰撞后。

球1:v = -8.5 m/s

球2:v = 未知 ( 我们将用v表示 )

使用动量守恒。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 。{\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {displaystyle 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}。 {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}

做完乘法后,再从两边减去3∗( -8.5 ) {displaystyle 3*(-8.5)}{\displaystyle 3*(-8.5)} ,我们得到。

  12-30+25.5=5∗v {displaystyle 12-30+25.5=5*v}。 {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

将左边相加,然后除以5 {displaystyle 5}{\displaystyle 5} ,我们就得到了。

7.5 5 = v {displaystyle {frac {7.5}{5}}=v}{\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} ,做最后的除法可以得到。   1.5 = v {displaystyle {frac {7.5}{5}}=v} 。 {\displaystyle \ 1.5=v}

我们也可以用 "能量守恒 "来解决这个问题。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}} } {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {displaystyle {frac {3*4^{2}}{2}+{frac {5*(-6)^{2}}{2}={frac {3(-8.5)^{2}}{2}+{frac {5v^{2}}{2}}}. {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}

两边都乘以2 {displaystyle 2}{\displaystyle 2} ,然后做所有需要的乘法,就可以得到。

  48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle 48+180=216.75+5v^{2}} {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

将左边的数字相加,从两边减去216.75 {displaystyle 216.75}{\displaystyle 216.75} ,再除以5 {displaystyle 5}{\displaystyle 5} ,就可以得到。

  2.25 = v 2 {displaystyle (2.25=v^{2} } {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

取两边的平方根,我们得到的答案是v=±1.5 {displaystyle v=\pm 1.5}。{\displaystyle v=\pm 1.5}.

不幸的是,我们仍然需要使用动量守恒来计算出v {displaystyle v}{\displaystyle v} 是正还是负。

问题和答案

问:什么是弹性碰撞?
答:弹性碰撞是指两个物体相撞后,在几乎没有变形的情况下反弹回来。

问:弹性碰撞的例子是什么?
答:两个橡胶球弹到一起就是弹性碰撞的一个例子。

问:什么是非弹性碰撞?
答:非弹性碰撞是指两个物体相撞后发生溃缩,但不会反弹。

问:非弹性碰撞的例子是什么?
答:两辆汽车相撞就是非弹性碰撞的一个例子。

问:完全弹性碰撞会发生什么?
答:在完全弹性碰撞中,没有动能损失,因此碰撞后两个物体的动能等于碰撞前的总动能。

问:弹性碰撞是如何发生的?
答:只有当动能没有净转化为其他形式(如热能或声能)时,才会发生弹性碰撞。

问:在弹性碰撞中,什么是守恒的?
答:在弹性碰撞中,动量是守恒的。

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