数学归纳法是证明数学真理的一种特殊方法，它可以用来证明某事对所有自然数（所有正整数）都是真的。它可以用来证明某件事对所有自然数（所有正整数）都是真的。其思想是

  • 第一种情况是真实的
  • 同样的事情在下一个案例中也总是如此。

然后

  • 同样的事情也适用于每一个案例

用数学的谨慎语言。

  • 说明将通过对n {\displaystyle nn}的归纳来证明。(n {displaystyle n}n是归纳变量。)
  • 证明当n {\displaystyle n}n为1时，该语句为真。
  • 假设该语句对于任何自然数n {\displaystyle nn}都是真的。这就是所谓的归纳步骤。
    • 那么就表明，对于下一个数，n+1 {\displaystyle n+1{\displaystyle n+1}}，这个陈述是真的。

因为对1来说是真的，那么对1+1来说是真的（=2，通过归纳步骤），那么对2+1来说是真的（=3），那么对3+1来说是真的（=4），以此类推。

归纳证明的一个例子。

证明对于所有自然数n。

1 + 2 + 3 + . . . .+ ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+....}。 {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}

证明。

首先，该语句可以写成：对于所有自然数n

2 ∑k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}

通过对n的归纳。

首先，对于n=1。

2 ∑k=1 1 1 k=2（1）=1（1+1） {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2（1）=1（1+1）}。{\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)},

所以这是真的。

接下来，假设对于一些n=n0，声明为真。即：

2 ∑k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}

那么对于n=n0+1。

2 ∑k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}+1}k}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k}

可改写为

2 ( ∑k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 )){displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}。 {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}

由于2 ∑k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) ，{\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}

2 ∑k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}

因此，证明是正确的。