数学归纳法

数学归纳法是证明数学真理的一种特殊方法，它可以用来证明某事对所有自然数（所有正整数）都是真的。它可以用来证明某件事对所有自然数（所有正整数）都是真的。其思想是

  • 第一种情况是真实的
  • 同样的事情在下一个案例中也总是如此。

然后

  • 同样的事情也适用于每一个案例

用数学的谨慎语言。

  • 说明将通过对n {\displaystyle nn}的归纳来证明。(n {displaystyle n}n是归纳变量。)
  • 证明当n {\displaystyle n}n为1时，该语句为真。
  • 假设该语句对于任何自然数n {\displaystyle nn}都是真的。这就是所谓的归纳步骤。
    • 那么就表明，对于下一个数，n+1 {\displaystyle n+1{\displaystyle n+1}}，这个陈述是真的。

因为对1来说是真的，那么对1+1来说是真的（=2，通过归纳步骤），那么对2+1来说是真的（=3），那么对3+1来说是真的（=4），以此类推。

归纳证明的一个例子。

证明对于所有自然数n。

1 + 2 + 3 + . . . .+ ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+....}。 {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}

证明。

首先，该语句可以写成：对于所有自然数n

2 ∑k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}

通过对n的归纳。

首先，对于n=1。

2 ∑k=1 1 1 k=2（1）=1（1+1） {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2（1）=1（1+1）}。{\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)},

所以这是真的。

接下来，假设对于一些n=n0，声明为真。即：

2 ∑k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}

那么对于n=n0+1。

2 ∑k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}+1}k}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k}

可改写为

2 ( ∑k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 )){displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}。 {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}

由于2 ∑k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) ，{\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}

2 ∑k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}。 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}

因此，证明是正确的。

类似的证明

数学归纳法经常用起始值0（而不是1）来说明。事实上，它的工作原理与各种起始值一样好。这里是一个例子，当起始值为3时，一个n {\displaystyle n}n-边多边形的内角之和是( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}{\displaystyle (n-2)180}度。

初始值为3，三角形的内角是( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180}{\displaystyle (3-2)180}度．假设一个n {\displaystyle nn}边的多边形的内角是( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}{\displaystyle (n-2)180}度.在三角形上添加一个三角形，使得这个图形是一个n+1 {\displaystyle n+1}。-{\displaystyle n+1}边的多边形，且该多边形的角数增加了180度 ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}{\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}度。已证明。

用数学归纳法证明的数学对象有很多。技术术语是一个有序的集合。

归纳定义

同样的想法可以起到定义，以及证明的作用。

定义n {/displaystyle nn}度的表弟。

  • 1 {displaystyle 1}{\displaystyle 1}st degree cousin是父母的兄弟姐妹的孩子。
  • A n + 1 {displaystyle n+1} {\displaystyle n+1}st degree cousin is the child of a parent's n {displaystyle n} nth degree cousin.

有一套自然数的运算公理，它是以数学归纳为基础的。这就是所谓的"皮亚诺公理"。未定义的符号是|和=，其公理是

  • | 是一个自然数
  • 如果n {/displaystyle n}n是一个自然数，那么n | {/displaystyle n|}{\displaystyle n|}是一个自然数。
  • 如果n | = m | {\displaystyle n|=m|} {\displaystyle n|=m|}那么n = m {\displaystyle n=m}。 {\displaystyle n=m}

然后可以通过数学归纳来定义加法和乘法等运算。例如：

  • m + | = m | {\displaystyle m+|=m|}。 {\displaystyle m+|=m|}
  • m + n | = ( m + n ) | {/displaystyle m+n|=(m+n)|}。 {\displaystyle m+n|=(m+n)|}

问题和答案

问：什么是数学归纳法？
答：数学归纳法是证明数学真理的一种特殊方式，它可以用来证明某事对所有自然数或正数从某点开始都是真的。

问：归纳法的证明是如何进行的？
答：归纳证明通常是这样进行的：说明将在n上进行证明，显示n为1时该语句为真，假设该语句对任何自然数n为真，然后显示它对下一个数字（n+1）为真。

问：在归纳步骤中假设某事是什么意思？
答：在归纳步骤中假设某事意味着接受它是真的，而不提供证据或证明。它是进一步调查的一个起点。

问：数学归纳法中使用的是哪种数字？
答：数学归纳法通常使用自然数或从某一点开始的正数。

问：如何证明下一个数字（n+1）的东西是真的？
答：要证明某事对下一个数字（n+1）是真的，你必须先证明它在n=1时是真的，然后用你在归纳步骤中的假设来证明它在n+1时也是真的。

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