辛普森悖论
辛普森悖论是统计学中的一个悖论。它是以英国统计学家爱德华-H-辛普森命名的，他在1951年首次描述了这一现象。统计学家卡尔-皮尔逊在1899年描述了一个非常类似的效应。有时，它被称为尤勒-辛普森效应。当看群体的统计分数时，这些分数可能会发生变化，这取决于这些群体是被一个一个地看，还是被合并成一个更大的群体。这种情况经常发生在社会科学和医学统计中。如果频率数据被用来解释因果关系，它可能会使人们感到困惑。该悖论的其他名称包括反转悖论和合并悖论。
例子。肾结石治疗
这是一个真实的例子，来自一项医学研究，比较了两种治疗肾结石的成功率。
该表显示了涉及小型和大型肾结石的治疗的成功率和治疗次数，其中治疗A包括所有开放式手术，治疗B是经皮肾镜取石术。
| 治疗A | 治疗B | |||
| 成功 | 失败 | 成功 | 失败 | |
| 小石子 | 第1组 | 第2组 | ||
| 病人数 | 81 | 6 | 234 | 36 |
| 93% | 7% | 87% | 13% | |
| 大石块 | 第3组 | 第4组 | ||
| 病人数 | 192 | 71 | 55 | 25 |
| 73% | 27% | 69% | 31% | |
| 两者都是 | 第1+3组 | 第2+4组 | ||
| 病人数 | 273 | 77 | 289 | 61 |
| 78% | 22% | 83% | 17% | |
矛盾的结论是，治疗A用于小结石时更有效，用于大结石时也更有效，但同时考虑两种大小时，治疗B却更有效。在这个例子中，人们不知道肾结石的大小会影响结果。这在统计学中被称为隐藏变量（或潜伏变量）。
哪种治疗方法被认为更好，是由两个比率（成功率/总数）之间的不平等决定的。两种比率之间的不平等发生逆转，造成辛普森悖论，这是因为两种效应同时发生。
- 在忽略了潜伏变量的情况下，这两组的规模是非常不同的。医生们倾向于给严重的病例（大结石）更好的治疗（A），而给较轻的病例（小结石）更差的治疗（B）。因此，总数是以第三组和第二组为主，而不是以第一组和第四组这两个小得多的组为主。
- 潜伏变量对比率的影响很大，也就是说，成功率受病例严重程度的影响比受治疗方法的选择影响更大。因此，使用治疗方法A的大结石患者组（第三组）比小结石患者组做得更差，即使后者使用的是较差的治疗方法B（第二组）。
