芝诺悖论
芝诺悖论是公元前5世纪中叶埃利亚的芝诺创造的一组著名的发人深省的故事或难题。哲学家、物理学家和数学家为如何回答芝诺悖论所提出的问题争论了25个世纪。有九个悖论被认为是他所为。芝诺构建这些悖论是为了回答那些认为巴门尼德的 "万物一体，亘古不变 "的观点是荒谬的人。芝诺的悖论中有三个是最著名的，也是最有问题的；下面介绍两个。尽管每个悖论的具体内容各不相同，但它们都涉及空间和时间的明显连续性质与物理学的离散或递增性质之间的紧张关系。
阿基里斯和乌龟
在《阿基里斯与乌龟》的悖论中，阿基里斯与乌龟进行了一场赛跑。比如说，阿基里斯让乌龟先跑100米。假设每个赛跑者都以恒定的速度开始跑，一个非常快，一个非常慢。经过一些有限的时间，阿基里斯将跑完100米，使他到达乌龟的起点。在这段时间里，较慢的乌龟已经跑了更短的距离。阿基里斯还需要一些时间才能跑完这个距离，这时乌龟已经跑得很远了。然后，阿基里斯还需要更多的时间才能到达这第三点，而乌龟则再次前进。因此，每当阿基里斯到达乌龟去过的地方时，他仍然有更远的路要走。因此，由于阿基里斯必须到达乌龟已经去过的地方的次数是无限的，所以他永远不可能超过乌龟。
二分法悖论
假设有人想从A点到B点，首先，他们必须移动一半的路程。然后，他们必须走剩下的一半路程。以这种方式继续下去，总会剩下一些小的距离，而目标将永远无法真正达到。总是会有另一个数字加入到一个系列中，如1+1/2+1/4+1/8+1/16+....所以，从任何点A到任何不同的点B的运动都被视为不可能。
评论
这就是芝诺悖论的所在：现实的两种图景不可能同时为真。因此，要么。1.2.现实中不存在离散的或递增的时间、距离，或者其他任何东西，或者3.存在第三种现实图景，将两种图景统一起来--数学图景。3. 有第三种现实图景，将这两种图景统一起来--数学图景和常识或哲学图景--但我们还没有工具来完全理解。
建议的解决方案
很少有人会打赌乌龟会在与运动员的比赛中获胜。但是，这种说法有什么问题呢？
当人们开始把1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+....，就会发现总和越来越接近1，而且永远不会超过1。亚里士多德（我们对芝诺的了解主要来自他）指出，随着距离（在二分法悖论中）的减少，每段距离的时间会越来越小。在公元前212年之前，阿基米德已经开发出一种方法，可以为逐渐变小的无限多项之和推导出一个有限的答案（如1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...）。现代微积分使用更严格的方法实现了同样的结果。
一些数学家，如w:Carl Boyer，认为芝诺悖论只是数学问题，现代微积分为其提供了数学解决方案。然而，如果一个人接近无限的系列步骤，一次一个步骤，芝诺的问题仍然是有问题的。这就是所谓的超任务。微积分实际上并不涉及一次一次的加数。相反，它确定了加法正在接近的数值（称为极限）。
参见英文维基百科文章
- 芝诺悖论
- 抛物线的正交
- 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
- 汤普森的灯
