微积分学

历史

在1670年代和1680年代，英国的艾萨克-牛顿爵士和德国的戈特弗里德-莱布尼茨同时想出了微积分，他们彼此分开工作。牛顿希望有一种新的方法来预测在天空中看到行星的位置，因为天文学一直是一种流行和有用的科学形式，而了解更多关于夜空中物体的运动对船舶的导航很重要。莱布尼茨想测量曲线（一条不直的线）下的空间（面积）。许多年后，这两个人为谁先发现它而争论不休。英国的科学家支持牛顿，但欧洲其他国家的科学家支持莱布尼茨。今天，大多数数学家都认为这两个人的功劳相等。现代微积分的某些部分来自牛顿，比如它在物理学中的应用。其他部分则来自莱布尼茨，比如用于书写的符号。

他们并不是第一个用数学来描述物理世界的人--亚里士多德和毕达哥拉斯来得更早，伽利略-伽利莱也是如此，他说数学是科学的语言。但牛顿和莱布尼茨都是第一个设计出一个系统来描述事物如何随时间变化，并能预测它们在未来如何变化。

计算 "这个名字是拉丁语，指的是古罗马人在计算和赌博时使用的一块小石头。英语单词 "calculate "也来自同一个拉丁单词。

微分计算

微积分是用来寻找一个变量与另一个变量相比的变化率。

在现实世界中，它可以用来寻找一个移动物体的速度，或了解电和磁的工作原理。它对于理解物理学和许多其他科学领域非常重要。

微积分在绘图方面也很有用。它可以用来寻找曲线的斜率和曲线的最高点和最低点（这些被称为最大和最小）。

变量可以改变其价值。这与数字不同，因为数字总是相同的。例如，数字1总是等于1，数字200总是等于200。你经常把变量写成字母，如字母X。"X "在某一点上可以等于1，在另一点上可以等于200。

变量的一些例子是距离和时间，因为它们可以改变。一个物体的速度是指它在特定时间内走了多远。因此，如果一个城镇在80公里（50英里）以外，一个人开车在一小时内到达那里，他们的平均速度是每小时80公里（50英里）。但这只是一个平均数--也许他们在某些时候（在高速公路上）行驶得更快，而在其他时候（在红绿灯或人们居住的小街道上）行驶得更慢。想象一下，一个司机试图只用汽车的里程表（测距仪）和时钟来计算汽车的速度，而没有速度表！这是不可能的。

在微积分发明之前，解决这个问题的唯一方法是将时间切割成越来越小的部分，这样在较小的时间内的平均速度就会越来越接近某个时间点上的实际速度。这是一个非常漫长而艰难的过程，而且每次人们想算出一些东西时都必须这样做。

一个非常类似的问题是寻找曲线上任何一点的斜率（它有多陡峭）。直线的斜率很容易算出来--它只是上升的幅度（y或垂直）除以横的幅度（x或水平）。但是，在曲线上，斜率是一个变量（在不同的点上有不同的值），因为直线是弯曲的。但是，如果把曲线切成非常非常小的部分，点上的曲线看起来几乎就是一条非常短的直线。所以为了计算出它的斜率，可以通过点画一条直线，其斜率与该点的曲线相同。如果画得完全正确，这条直线的斜率将与曲线相同，被称为切线。但是没有办法知道（不需要非常复杂的数学）切线是否完全正确，而且我们的眼睛也不够准确，无法确定它是完全正确的还是只是非常接近。

牛顿和莱布尼茨发现了一种方法，可以用简单的逻辑规则准确地计算出斜率（或距离例子中的速度）。他们把曲线分成无数个非常小的部分。然后他们在他们感兴趣的范围的两侧选择了一些点，并在每个点上计算出切线。当这些点向他们感兴趣的点靠近时，当切线接近曲线的实际斜率时，斜率就会接近一个特定的值。它所接近的特定值就是实际的斜率。

假设我们有一个函数y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f是函数的简称，所以这个等式的意思是 "y是x的一个函数"。这告诉我们，y在纵轴上的高度取决于当时x（横轴）的情况。例如，对于方程y = x {2displaystyle y=x^{2}}，我们知道，如果x {displaystyle y=x^{2}}，则y = x {displaystyle y=x^{2}。我们知道，如果x {displaystyle x}是1，那么y {displaystyle y}将是1；如果x {displaystyle x}是3，那么y {displaystyle y}将是9；如果x {displaystyle x}是20，那么y {displaystyle y}将是400。在这里使用这种方法产生的导数是x2 {displaystyle 2x}，或2乘以x {displaystyle y}。或2乘以x {displaystyle x}。因此，我们不用画任何切线就知道，在曲线f ( x ) = x {2displaystyle f(x)=x^{2}}上的任何一点，导数，f ′ = x^{2}。，导数，f ′ ( x ) {displaystyle f'(x)}。(用质数符号标记)，在任何一点上都是x2 {displaystyle 2x}。这个用极限计算斜率的过程叫做微分，或者说找到导数。

数学中写导数的方法是 f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h 。{displaystyle f^{prime }(x)=lim _{h\rightarrow 0}{frac {f（x+h）-f（x）}{h}。}

莱布尼茨得出了同样的结果，但把h称为 "d x {displaystyle dx}"，意思是 "关于x"。"，意思是 "就x而言"。他称由此产生的f ( x ) {displaystyle f(x)}的变化为"d y {displaystyle dy}"，意思是 "很小的量"。"，意思是 "y的微小量"。莱布尼茨的符号被更多的书使用，因为当方程变得更复杂时，它很容易理解。在莱布尼兹符号中：d y d x = f ′ ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=f' (x)}。

数学家们将这一基本理论发展为简单的代数规则，可用于寻找几乎所有函数的导数。

在一条曲线上，两个不同的点有不同的斜率。红线和蓝线是曲线的切线。


一幅显示x和x+h在曲线上的含义的图片。

积分计算

微积分是计算一个函数的图形下的面积的过程。一个例子是计算汽车行驶的距离：如果你知道汽车在不同时间点的速度，并画出这个速度的图形，那么汽车行驶的距离将是图形下的面积。

做到这一点的方法是将图形分为许多非常小的部分，然后在每个部分下画出非常细的矩形。随着长方形变得越来越细，长方形对图形下面的区域覆盖得越来越好。矩形的面积很容易计算，所以我们可以计算出所有矩形的总面积。对于较薄的矩形，这个总面积值接近图形下方的面积。面积的最终值被称为函数的积分。

在数学中，函数f(x)从a到b的积分被写成∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle `int `limits _{a}^{b}f(x)`,dx}。

我们可以通过将曲线下的许多矩形的面积相加来近似计算曲线下的面积。我们使用的矩形越多，我们的近似值就越大。


积分 是指在给定的a、b和y=f(x)的情况下，寻找面积。

微积分的主要思想

微积分的主要思想被称为微积分基本定理。这个主要思想说，微积分的两个过程，微分和积分，是对立的。也就是说，一个人可以用微分来撤销一个积分微积分过程。同时，一个人也可以用积分微积分来撤销微分微积分的方法。这就像用除法来 "撤销 "乘法，或用加法来 "撤销 "减法。

一句话，基本定理的内容是这样的。"一个函数f的积分的导数就是该函数本身"。

微积分的其他用途

微积分是用来描述变化的事物，如自然界的事物。它可以用于展示和学习所有这些。

• 波浪如何移动。波在自然界中是非常重要的。例如，声音和光可以被认为是波。
• 热量移动的地方，比如房子里。这对建筑学（建造房屋）很有用，这样房屋的供热就可以尽可能便宜。
• 像原子这样非常小的东西是如何行动的。
• 某物下落的速度有多快，也被称为重力。
• 机器如何工作，也被称为机械学。
• 月球围绕地球运动的路径。此外，地球围绕太阳运动的路径，以及任何行星或月亮围绕空间中的任何东西运动的路径。