组合气体法

从气体定律导出

波义耳定律指出，压力与体积的乘积是恒定的。

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}/qquad (1)}。

查尔斯定律表明，体积与绝对温度成正比。

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}/qquad (2)}。

盖-吕萨克定律说，压力与绝对温度成正比。

P = k 3 T ( 3 ) {/displaystyle P=k_{3}T/qquad (3)}。

其中P为压力，V为体积，T为理想气体的绝对温度。

将(1)和(2)或(3)中的任何一个结合起来，我们可以得到一个包含P、V和T的新方程。如果我们将方程(1)除以温度，再将方程(2)乘以压力，我们将得到。

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}.

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

由于两个方程的左手边都是一样的，我们得出了

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} 。

这意味着

P V T = 常数 {/displaystyle {/frac {PV}{T}}={/textrm {constant}}}。.

代入阿伏加德罗定律，得到理想气体方程。

物理推导

仅用初等代数推导综合气体定律，可能会有惊喜。例如，从三条经验法则出发。

P=k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}           (1)盖-卢萨克定律，体积假设不变。

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}           (2)查尔斯定律，压力假设不变

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T},\!}           (3)波义耳定律，温度假设不变。

其中_kV、_kP、_kT为常数，可以将三者相乘得到

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

将两边的平方根除以T，似乎可以得到预期的结果。

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}，\!}

但是，如果在应用上述程序之前，仅仅是将波义耳定律中的条款重新排列，_kT=PV，那么在取消和重新排列之后，就可以得到

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2},\!}

这即使不是误导，也不是很有用。

一个物理推导，较长但更可靠，首先要认识到盖-吕萨克定律中的恒定体积参数将随着系统体积的变化而变化。在恒定体积_V1时，该定律可能出现P=k1T，而在恒定体积_V2时可能出现P=k2T。用_kV(V)表示这个"可变恒量"，将该定律改写为

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T,\!}           (4)

同样的考虑也适用于查尔斯定律中的常数，可以改写为

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T,\!}           (5)

在寻求_kV(V)时，不应不假思索地排除(4)和(5)之间的T，因为在前者中P是变化的，而在后者中假定P是不变的。相反，应该首先确定这些方程在什么意义上是相互兼容的。为了深入了解这一点，回顾一下，任何两个变量都决定第三个变量。选择P和V是独立的，我们把T值想象成PV平面上方的一个表面。一个确定的_V0和_P0定义了一个_T0，也就是该表面上的一个点。将这些值代入(4)和(5)中，并重新排列，可得

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={frac\{P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}/四和四T_{0}={frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}。

由于这两个表达式都描述了表面上同一点的情况，所以这两个数字表达式可以等价并重新排列。

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}{V_{0}}}},\!}           (6)

请注意，1/_kV(_V0)和1/_kP(_P0)是平行于P轴/V轴的正交线的斜率，并通过PV平面上方表面的那一点。这两条线的斜率之比只取决于该点的_P0/_V0的值。

请注意，(6)的函数形式不取决于所选的具体点。对于P和V值的任何其他组合都会产生同样的公式。因此，我们可以写成

k V ( V ) k P ( P ) = P V∀ P ,∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}/quad {forall P,\forall V}。           (7)

这说明表面上的每一点都有自己的一对正交线穿过，它们的斜率比只取决于该点。而(6)是具体斜率与变量值的关系，(7)是斜率函数与函数变量的关系。它对表面上的任何一点都成立，即对P和V值的任何和所有组合都成立。要解函数_kV(V)的这个方程，首先要把变量分开，V在左边，P在右边。

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}。

选择任意压力_P1。右侧评价为某个任意值，称其为_卡伯。

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,!}           (8)

这个特殊的等式现在必须成立，不仅对V的一个值，而且对V的所有值都是如此。

k V ( V )=k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={/frac {k_{/text{arb}}}}{V}}}}.           (9)

可代入(8)中验证。

最后，将(9)代入Gay-Lussac定律(4)中，重新排列后，可得到综合气体定律。

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{text{arb}}},!}

请注意，虽然在这个推导中没有使用波义耳定律，但它很容易从结果中推导出来。一般来说，在这种类型的推导中，只需要三个起始定律中的任何两个就可以了--所有的起始对都会导致相同的综合气体定律。

应用

组合气体定律可以用来解释压力、温度、体积受影响的力学。例如：空调、冰箱和云的形成，也可用于流体力学和热力学。

相关网页

• 道尔顿定律