歐拉﹣伯努力棟樑方程

欧拉-伯努利梁理论(也被称为工程师的梁理论经典梁理论)是一种简单的方法,用于计算施加载荷时梁的弯曲。这适用于梁的小挠度(东西移动的程度),而不考虑剪切变形的影响。因此,它可以被认为是季莫申科梁理论的一个特例。它最早是在1750年左右提出的。它在19世纪末埃菲尔铁塔和摩天轮的发展过程中得到了普及。此后,它被用于许多工程领域,包括机械工程土木工程。尽管其他先进的方法已经被开发出来,欧拉-伯努利梁理论由于其简单性仍然被广泛使用。 

一个振动的玻璃梁显示了梁的弯曲,可以用欧拉-伯努利的梁理论来估计。Zoom
一个振动的玻璃梁显示了梁的弯曲,可以用欧拉-伯努利的梁理论来估计。

历史

莱昂哈德-欧拉和丹尼尔-伯努利于1750年首次将这一理论整理出来。在当时,人们对科学工程的看法与今天不同。像欧拉-伯努利梁理论这样的数学理论在实际工程使用中不被信任。桥梁建筑继续使用相同的方法进行设计,直到19世纪末。这时埃菲尔铁塔和摩天轮在更大范围内显示了理论的有效性。

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显示中性轴的弯曲梁横截面图

静态梁方程

欧拉-伯努利方程描述了梁的挠度和施加的载荷之间的关系,如下所示。

d 2 d x 2 ( E I d 2 w d x 2 ) = q {displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d}} ^{2}}}\left(EI{frac {mathrm {d}} ^{2}w}{mathrm {d}}})^{2}}{mathrm {d}x^{2}}}左(EI{frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}右)=q\,}。 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q\,}

其中w ( x ) {displaystyle w(x)}描述{\displaystyle w(x)}了梁在某个位置x {displaystyle z}{\displaystyle z}方向的挠度xq {displaystyle q}q是一个分布载荷,换句话说,是每单位长度的力(类似于压力是每面积的力);它可能是x {displaystyle x}xw {displaystyle w}的函数。{\displaystyle w}或其他变量的函数。

欧拉-伯努利梁的弯曲。梁的每个横截面与中性轴成90度。Zoom
欧拉-伯努利梁的弯曲。梁的每个横截面与中性轴成90度。

问题和答案

问:什么是欧拉-伯努利梁理论?
答:欧拉-伯努利梁理论是一种简单的方法,用于计算施加载荷时梁的弯曲,不考虑剪切变形的影响。

问:欧拉-伯努利梁理论何时首次提出?
答:欧拉-伯努利梁理论最早是在1750年左右提出的。

问:欧拉-伯努利梁理论是否用于埃菲尔铁塔和摩天轮的开发?
答:是的,欧拉-伯努利梁理论在19世纪末埃菲尔铁塔和摩天轮的发展中得到了普及。

问:欧拉-伯努利梁理论在哪些工程领域得到了应用?
答:欧拉-伯努利梁理论已被应用于许多工程领域,包括机械工程和土木工程。

问:欧拉-伯努利梁理论今天还在广泛使用吗?
答:是的,欧拉-伯努利梁理论由于其简单性,今天仍然被广泛使用,尽管其他先进的方法已经被开发出来。

问:欧拉-伯努利梁理论适用于哪些类型的梁的挠度?
答:欧拉-伯努利梁理论适用于梁的小挠度。

问:欧拉-伯努利梁理论是否考虑到剪切变形的影响?
答:不,欧拉-伯努利梁理论不考虑剪切变形的影响。

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