高斯消去法

作者: Leandro Alegsa 创建日期: 2021年1月24日

在数学中，高斯消元法（也叫行减法）是一种用于解决线性方程组的方法。它以德国著名数学家卡尔-弗里德里希-高斯（Carl Friedrich Gauss）的名字命名，他写了关于这种方法的文章，但没有发明这种方法。

为了进行高斯消除，线性方程系统中的项的系数被用来创建一种称为增强矩阵的矩阵。然后，使用基本的行操作来简化矩阵。使用的三种类型的行操作是：

类型1：将一行与另一行进行切换。

类型2：将一行乘以一个非零的数字。

类型3：从另一行中增加或减少一行。

高斯消除的目标是得到行层形式的矩阵。如果一个矩阵是行链形式的，那就意味着从左到右读，每一行都会比上面的一行至少多一个零项。高斯消除的一些定义说，矩阵结果必须是缩减行谢尔翁形式。这意味着矩阵是行梯队形式，每行中唯一的非零项是1，产生行梯队矩阵结果的高斯消除有时被称为高斯-乔丹消除。

例子

假设目标是找到这个线性方程组的答案。

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&。\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

首先，需要将系统变成一个增强矩阵。在增强矩阵中，每个线性方程都成为一行。在增强矩阵的一侧，线性方程中每个项的系数成为矩阵中的数字。在增强矩阵的另一边，是每个线性方程等于的常数项。对于这个系统，增强矩阵为：。

[2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[ {{begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3end{array}\right] }。 $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

然后，可以对增强矩阵进行行运算，使其简化。下表是方程系统和增强矩阵上的行简化过程。

方程系统	行操作	增强矩阵
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=;&&8&。\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[ {{begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3end{array}\right]}。 $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&/\;+&&y&&/\;-&&/\;z&&/\;=;&&8&\&&&&。{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {3}{2}}}R_{1}/rightarrow R_{2}}。 $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}。 $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1&2&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]}。 $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y/\;&&-&&\;z/\;&&=/\;&&8&\&&&&。{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {displaystyle R_{3}+-4R_{2}/rightarrow R_{3}}。 $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1&2&1/2&1/2&1\0&0&-1&1end{array}}\right]}。 $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

矩阵现在是行层形式。这也叫三角形式。

方程系统	行操作	增强矩阵
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y;\;&&&&;\;&&=\;&&7&&\&&&。&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {1}{2}}}R_{3}}/rightarrow R_{2}}。 $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}。 $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&1&1\end{array}}\right]}。 $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&;\;\;&&=\;&&7&\&&&。&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {displaystyle 2R_{2}/rightarrow R_{2}}。 $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ - R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}。 $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}\right]}。 $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&;\;&&=\;&&2&\&&&&。y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}。 $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}}。 ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}\right]}。 $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$