高斯消去法

在数学中，高斯消元法（也叫行减法）是一种用于解决线性方程组的方法。它以德国著名数学家卡尔-弗里德里希-高斯（Carl Friedrich Gauss）的名字命名，他写了关于这种方法的文章，但没有发明这种方法。

为了进行高斯消除，线性方程系统中的项的系数被用来创建一种称为增强矩阵的矩阵。然后，使用基本的行操作来简化矩阵。使用的三种类型的行操作是：

类型1：将一行与另一行进行切换。

类型2：将一行乘以一个非零的数字。

类型3：从另一行中增加或减少一行。

高斯消除的目标是得到行层形式的矩阵。如果一个矩阵是行链形式的，那就意味着从左到右读，每一行都会比上面的一行至少多一个零项。高斯消除的一些定义说，矩阵结果必须是缩减行谢尔翁形式。这意味着矩阵是行梯队形式，每行中唯一的非零项是1，产生行梯队矩阵结果的高斯消除有时被称为高斯-乔丹消除。

例子

假设目标是找到这个线性方程组的答案。

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&。\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}}

首先，需要将系统变成一个增强矩阵。在增强矩阵中，每个线性方程都成为一行。在增强矩阵的一侧，线性方程中每个项的系数成为矩阵中的数字。在增强矩阵的另一边，是每个线性方程等于的常数项。对于这个系统，增强矩阵为：。

[2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[ {{begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3end{array}\right] }。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}

然后，可以对增强矩阵进行行运算，使其简化。下表是方程系统和增强矩阵上的行简化过程。

方程系统

行操作

增强矩阵

2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=;&&8&。\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}}

[2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[ {{begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3end{array}\right]}。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}

2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&/\;+&&y&&/\;-&&/\;z&&/\;=;&&8&\&&&&。{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}}

R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {3}{2}}}R_{1}/rightarrow R_{2}}。{\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}
R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}。 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}

[2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\0&1&2&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]}。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}

2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y/\;&&-&&\;z/\;&&=/\;&&8&\&&&&。{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}

R 3 + - 4 R 2 → R 3 {displaystyle R_{3}+-4R_{2}/rightarrow R_{3}}。 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}}

[2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\0&1&2&1/2&1/2&1\0&0&-1&1end{array}}\right]}。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}

矩阵现在是行层形式。这也叫三角形式。

方程系统

行操作

增强矩阵

2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y;\;&&&&;\;&&=\;&&7&&\&&&。&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}

R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {displaystyle R_{2}+{frac {1}{2}}}R_{3}}/rightarrow R_{2}}。{\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}}
R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}。 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}

[2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&1&1\end{array}}\right]}。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}

2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&;\;\;&&=\;&&7&\&&&。&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}

2 R 2 → R 2 {displaystyle 2R_{2}/rightarrow R_{2}}。{\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}}
- R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}。 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}

[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}\right]}。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}

x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&;\;&&=\;&&2&\&&&&。y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}

R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}。{\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}
1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}}。 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}}

[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}\right]}。 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}

矩阵现在是缩小的行层形式。阅读这个矩阵可以知道，当x=2，y=3，z=-1时，这个方程组的解就会出现。

问题和答案

问：什么是高斯消除法？
答：高斯消去法是数学中用来解决线性方程组的一种方法。

问：它是以谁命名的？
答：它是以德国著名数学家卡尔-弗里德里希-高斯的名字命名的，他写过关于这种方法的文章，但没有发明它。

问：高斯消除法是如何进行的？
答：高斯消除法是通过使用线性方程组中的项的系数来创建一个增强的矩阵。然后，使用基本的行操作来简化矩阵。

问：高斯消除法中使用的三种行运算是什么？
答：高斯消除法中使用的三种类型的行运算是： 将一行与另一行交换，将一行乘以一个非零数，以及将一行与另一行相加或相减。

问：高斯消除法的目标是什么？
答：高斯消除法的目的是为了得到行-歇尔形式的矩阵。

问：什么是行-歇尔形式？
答：如果一个矩阵是行-歇尔形式，这意味着从左到右，每一行都会比上面的行至少多一个零项。

问：什么是缩小的行-歇尔形式？
答：缩减的行-歇尔形式是指矩阵是行-歇尔形式，每行唯一的非零项是1，产生缩减的行-歇尔矩阵结果的高斯消除法有时被称为高斯-乔丹消除法。

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3