量化 (数理逻辑)

在逻辑学中，量词是一种说明一定数量的元素满足某些标准的方式。例如，每个自然数都有另一个比它大的自然数。在这个例子中，"每个 "这个词是一个量词。因此，"每个自然数都有另一个比它大的自然数 "这个句子是一个量化的表达。量词和量化表达式是形式语言的一个有用部分。它们之所以有用，是因为它们让严格的语句宣称一个标准有多广泛。谓词逻辑中使用的两种基本量词是普遍量词和存在量词。普遍量词说明所有被考虑的元素都符合标准。普遍量词的符号是"∀"，一个颠倒的 "A"，代表 "所有"。存在量词（用"∃"表示）表示至少有一个考虑的元素符合标准。存在量词的符号是"∃"，一个倒过来的 "E"，代表 "存在"。

量词在自然语言中也有使用。英语中量词的例子有for all, for some, many, few, a lot, and no。

数学

这个声明是无限长的。

1-2=1+1，2-2=2+2，3-2=3+3，...，100-2=100+100，...，等等。

这对形式语言来说是个问题，因为形式语句的长度需要是有限的。这些问题可以通过使用普遍量化来避免。这就产生了下面这个紧凑的语句。

对于每个自然数n，n-2=n+n。

以同样的方式，我们可以缩短由或连接的无限的语句序列。

1等于5+5，或2等于5+5，或3等于5+5，...。，或100等于5+5，或...，等等。

可以用存在量词来重写。

对于至少一个自然数n，n等于5+5。

符号

最广泛使用的两个量词是普遍量词和存在量词。

通用量词被用来声称，对于一个集合中的元素，这些元素都符合某些标准。通常，这个声明 "对于所有元素 "被简称为 "A"，翻转过来就是"∀"。

存在量词被用来声称对于一个集合中的元素，至少存在一个符合某些标准的元素。通常情况下，"存在一个元素 "这一说法被简称为 "E"，倒过来就是"∃"。

我们可以用符号、代表标准的谓词和量词重写一个英语语句的例子。这个例子是 "彼得的每个朋友要么喜欢跳舞，要么喜欢去海滩"。让X是Peter的所有朋友的集合。让P(x)为谓词 "x喜欢跳舞"。让Q(x)为谓词 "x喜欢去海滩"。我们可以用形式化符号把这个例子改写为∀ x∈X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle forall {x}{in }X,P(x)\lor Q(x)} {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}。这句话可以理解为 "对于每一个属于X的成员的x，P适用于x或者Q适用于x"。

在形式语言中还有其他使用量词的方法。下面的每个语句都说的是与 ∃ x ∈ X , P ( x ) {displaystyle \exists {x}{in }X,P(x)}相同的事情{\displaystyle \exists {x}{\in }X,P(x)}。

  • ∃ x P {displaystyle \exists {x}P}. {\displaystyle \exists {x}P}
  • ( ∃ x ) P {displaystyle (\exists {x})P} {\displaystyle (\exists {x})P}
  • ( ∃ x . P ) {displaystyle (\exists x\ .P)} {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
  • ∃ x ⋅ P {displaystyle \exists x \cdot \ P}. {\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}
  • ( ∃ x : P ) {displaystyle (\exists x:P)}。 {\displaystyle (\exists x:P)}
  • ∃x∈X P {displaystyle\exists {x}{in }X\,P}. {\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}
  • ∃ x : X P {displaystyle \exists \,x{:}X\,P}. {\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}

还有一些表示普遍量词的方法。

  • ( x ) P {displaystyle (x)\,P} {\displaystyle (x)\,P}
  • ⋀ x P {\displaystyle\bigwedge _{x}P}. {\displaystyle \bigwedge _{x}P}

上面的几个陈述明确地包括X，即量化器适用的元素集合。这个元素集也被称为量化的范围，或话语的宇宙。上面的一些语句没有包括这样一个集合。在这种情况下，必须在语句前指定这个集合。例如，"x是一个苹果 "必须在∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists {x}P(x)}之前说明{\displaystyle \exists {x}P(x)}。在这种情况下，我们是在声明至少有一个苹果符合谓词P。

正式使用量词并不要求使用符号x。本文中一直使用符号x，但可以使用任何符号，如y。在选择符号时，确保不要用同一个符号指代两个不同的事物。

嵌套

把量词放在正确的顺序中是很重要的。这是一个显示意义如何随顺序变化的英语例句。

对于每一个自然数n，存在一个自然数s，使得s=n2。

这句话是真的。它指出，每个自然数都有一个平方。然而，如果我们把量词的顺序转过来。

存在一个自然数s，使得对于每个自然数n，s=n2。

这个说法是错误的。它声称有一个自然数s是每个自然数的平方。

在某些情况下，改变量词的顺序并不改变语句的含义。比如说。

存在一个自然数x，并且存在一个自然数y，使得x=y2。

其他量词

还有一些数学家使用的不太常见的量词。

一个例子是求解量词。它被用来说明哪些元素可以解决一个特定的方程。求解量词用§（节号）表示。例如，下面的语句声称0、1和2的平方小于4。 : [ § n∈N n ≤ 2] 4= { ,0 , 1}2{displaystyle\left[S n\in `mathbb {N} `quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}。 {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}

其他量词有：。

  • 有许多因素，如...
  • 很少有这样的元素，...
  • 有无限多的元素，使...
  • 对于所有的但有限多的元素...(有时表示为 "对于几乎所有元素......"）。
  • 有不计其数的元素，如...
  • 对于所有的，但可数的元素...

历史

术语逻辑是由亚里士多德开发的。它是逻辑的早期形式，包括量化。量化的使用更接近于自然语言的使用。这意味着带有量词的术语逻辑中的语句不太适合形式分析。公元前4世纪，术语逻辑包括All、Some和No（无）的量词。

1879年，戈特洛夫-弗雷格创造了一个普遍量化的符号。与今天不同的是，他将通过在一条直线上的一个凹痕上写下一个变量来表示一个普遍量化。弗雷格并没有为存在性量化创造一个符号。相反，他把普遍量化和一些否定词结合起来，做出一个等价的声明。弗雷格对量化的使用直到伯特兰-罗素1903年的《数学原理》才被广泛了解。

1885年，查尔斯-桑德斯-皮尔斯和他的学生奥斯卡-霍华德-米切尔也为普遍性和存在性量词创造了一个符号。他们把Πx和Σx写成了我们现在写的∀x和∃x。皮尔斯的符号被许多数学家使用到20世纪50年代。

1897年，威廉-欧内斯特-约翰逊和朱塞佩-皮亚诺创造了另一种用于普遍和存在的量化的记号。他们受到皮尔斯以前的量化符号的影响。约翰逊和皮亚诺用简单的（x）表示普遍量化，用∃x表示存在量化。皮亚诺对数学的影响将这种符号传播到整个欧洲。

1935年，Gerhard Gentzen创造了用于通用量化的∀符号。直到20世纪60年代，它才被广泛使用。

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问题和答案

问：什么是量词？
答：量词是说明一定数量的元素符合某种标准的一种方式。

问：什么是量化表达式的例子？
答：量化表达式的一个例子是 "每个自然数都有另一个比它大的自然数"。

问：为什么量词和量化表达式是有用的？
答：量词和量化表达式是有用的，因为它们让严格的声明声称一个标准有多广泛。

问：在谓词逻辑中使用的两种基本量词是什么？
答：在谓词逻辑中使用的两种基本量词是普遍量词和存在量词。

问：普遍量词说明什么？
答：普遍量词说明所有被考虑的元素都符合标准。

问：普遍量词的符号是什么？
答：普遍量词的符号是"∀"，一个颠倒的 "A"，代表 "所有"。

问：存在量词说明了什么？
答：存在量词说明至少有一个元素符合标准。

问：存在性量词的符号是什么？
答：存在量词的符号是"∃"，是一个倒过来的 "E"，代表 "存在"。

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