方位数

例子

小于70的方块（OEIS中序列A000290）² 。

有无限多的平方数，正如有无限多的自然数。

属性

当且仅当可以用m个相等（较小）的正方形组成一个正方形时，数m是一个正方形数。

一个边长为n的正方形的面积为n² 。

第n个平方数的表达式是n² 。这也等于前n个奇数的总和，从上面的图片中可以看出，一个平方数是由前一个平方数加上一个奇数点（以洋红色显示）产生的。公式如下。

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) 。{displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n}（2k-1）。}

因此，例如，5² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9。

一个平方数只能以数字0、1、4、6、9或25为基数结束，如下所示。

1. 如果一个数字的最后一个数字是0，它的正方形就以偶数个0结尾（所以至少是00），结尾的0前面的数字也必须形成一个正方形。
2. 如果一个数字的最后一位是1或9，它的平方就以1结尾，由它前面的数字组成的数字必须能被4整除。
3. 如果一个数字的最后一位是2或8，它的正方形以4结束，前面的数字必须是偶数。
4. 如果一个数字的最后一位是3或7，它的正方形以9结尾，由其前面的数字组成的数字必须能被4整除。
5. 如果一个数字的最后一个数字是4或6，它的平方就以6结束，前面的数字必须是奇数。
6. 如果一个数字的最后一个数字是5，它的正方形以25结尾，前面的数字必须是0，2，06，或56。

一个平方数不可能是一个完全数。

所有的四次方、六次方、八次方等等都是完全的正方形。

特殊情况

• 如果数字的形式是m5，其中m代表前面的数字，它的平方是n25，其中n=m×（m+1），代表25之前的数字。例如，65的平方可以通过n=6×（6+1）=42来计算，这使得其平方等于4225。
• 如果数字的形式是m0，其中m代表前面的数字，它的平方是n00，其中n=m² 。例如，70的平方是4900。
• 如果数字有两位数，并且是5m的形式，其中m代表单位数，它的平方是AABB，其中AA=25+m，BB=m² 。例子。要计算57的平方，25+7=32，7² =49，这意味着57² =3249。

奇数和偶数的平方数

偶数的平方是偶数（事实上可以被4整除），因为（2n）² = 4n² 。

奇数的平方是奇数，因为(2n + 1)² = 4(n² + n) + 1。

由此可见，偶数的平方根是偶数，奇数的平方根是奇数。

由于所有偶数的平方数都能被4整除，所以形式为4n+2的偶数不是平方数。

由于所有奇数的平方数都是4n+1的形式，所以4n+3形式的奇数不是平方数。

奇数的平方是8n + 1的形式，因为(2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1，n(n + 1)是偶数。