冪

指数（幂）是对数字的一种算术运算。它是重复的乘法，就像乘法是重复的加法一样。人们把指数写成上位数。这看起来像这样：x y {\displaystyle x^{y}}。{\displaystyle x^{y}}.过去还使用过其他的数学符号方法。当用不能使用上位指数的设备书写时，人们用^或**号写幂，所以2^3或2**3表示2 3 {displaystyle 2^{3}}。{\displaystyle 2^{3}}.

数字x {\displaystyle xx}称为基数，数字y {\displaystyle y}y称为指数。例如，在2 3中{displaystyle 2^{3}}。{\displaystyle 2^{3}}，2是基数，3是指数。

要计算2 3 {displaystyle 2^{3}{\displaystyle 2^{3}}}一个人必须将数字2乘以3倍。所以2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {displaystyle 2^{3}=2cdot 2cdot 2} {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}。结果是2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8}} 。这个等式可以这样大声读出来：2提高到3的幂等于8。

例如：

  • 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}。 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=xcdot {}x}。 {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {displaystyle 1^{x}=1{\displaystyle 1^{x}=1}} for every number x

如果指数等于2，那么这个幂叫做平方，因为正方形的面积是用2 {\displaystyle a^{2}}计算的。{\displaystyle a^{2}}.所以...

x 2 {displaystyle x^{2}{\displaystyle x^{2}}}是x的平方 {displaystyle x}。 x

如果指数等于3，那么这个幂叫做立方体，因为立方体的体积是用3 {\displaystyle a^{3}}计算的。{\displaystyle a^{3}}.所以...

x 3 {displaystyle x^{3}{\displaystyle x^{3}}}是x的立方体{displaystyle x}。 x

如果指数等于-1，那么这个人必须计算基数的倒数。所以

x - 1 = 1 x {/displaystyle x^{-1}={/frac {1}{x}}}}. {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

如果指数是整数，且小于0，那么这个人就必须反过来计算这个数的幂。例如：

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}right)^{3}={\frac {1}{8}}}}。 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

如果指数等于1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}，那么指数的结果就是基数的平方根。所以 x 1 2 = x . {displaystyle x^{/frac {1}{2}}={/sqrt {x}}.}{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}例如：

4 1 2 = 4 = 2 {/displaystyle 4^{/frac {1}{2}}={/sqrt {4}}=2}。 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

同理，如果指数是1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}{\displaystyle {\frac {1}{n}}}}}结果是第n根，所以。

a 1 n = a n {displaystyle a^{/frac {1}{n}}={/sqrt[{n}]{a}}}}。 {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

如果指数是一个有理数p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}}{\displaystyle {\frac {p}{q}}}，那么结果就是基数的q根提高到p的幂，所以。

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}。 {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

指数甚至可能不是有理数。为了将基数a升到无理x次方，我们使用一个无限的有理数序列（xi），其极限是x。

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}。 {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

像这样。

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{nto \infty }a^{x_{n}}}。 {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

有一些规则有助于计算功率。

  • ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}。 {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}。 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r ⋅ a s = a r + s {displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}}。 {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}。 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}}},\quad a/neq 0}。 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • ( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}right)^{s}=a^{r\cdot s}}。 {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1}。 {\displaystyle a^{0}=1}

可以计算矩阵的指数化。矩阵必须是平方的。例如I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}} 。

互通性

加法和乘法都具有换算性。例如，2+3与3+2相同；2-3与3-2相同。指数虽然是重复的乘法，但它不具有换算性。例如，2³=8，但3²=9。

逆运算

加法有一个逆运算：减法。另外，乘法也有一种逆运算：除法。

但指数有两个逆运算。根和对数之所以如此，是因为指数化不是换算的。你可以在这个例子中看到这一点。

  • 如果你有x+2=3，那么你可以用减法来找出x=3-2。如果你有2+x=3也是一样：你也可以得到x=3-2。这是因为x+2和2+x是一样的。
  • 如果你有x - 2=3，那么你可以用除法来求出x= 3 2 {\textstyle {frac {3}{2}}}}。{\textstyle {\frac {3}{2}}}.如果你有2-x=3，这也是一样的：你也可以得到x=3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}}。{\textstyle {\frac {3}{2}}}.这是因为x - 2与2 - x是一样的。
  • 如果你有x²=3，那么你用（平方）根来求x。你得到的结果是 x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}}}{\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}.然而，如果你有2x=3，那么你就不能用根来计算x，而是要用（二进制）对数来计算x。你得到的结果是x=log2(3).

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问题和答案

问：什么是指数化？
答：指数化是对数字的一种算术运算，可以认为是重复的乘法。

问：指数化是怎么写的？
答：指数化通常被写成x^y，其中x是基数，y是指数。它也可以用^或**符号来写，如2^4或2**4。

问：指数化的一些例子是什么？
答：指数化的例子包括5^3=5*5*5=125；x^2=x*x；1^x=1，每个数字x都是1；以及4^(1/2)=sqrt(4)=2。

问：当指数等于-1时是什么意思？
答：当指数等于-1时，那么功率只是基数的倒数（x^（-1）=1/x）。

问：如何计算一个基数的无理数幂？
答：要把一个基数a提高到无理数的x次方，我们用一个无限的有理数序列（xn），其极限是x（a^x = lim n->infinity a^(x_n)）。

问：有没有什么规则可以使指数的计算更容易？
答：是的，有几条规则可以使指数的计算更容易。这些规则包括 (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); 等等。

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