小波变换

小波变换是信号的一种时频表示。例如，我们用它来降噪、特征提取或信号压缩。

连续信号的小波变换定义为

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a．)。b)={frac {1}{/sqrt {a}}}/int _{-/infty }^{/infty }{f(t)/psi ^{*}/left({frac {t-b}{a}}/right)}dt,} ,

哪儿

• ψ {displaystyle {psi}就是所谓的母小波。
• a {displaystyle a}表示小波扩张。
• b {displaystyle b}表示小波的时移和。
• ∗ {\displaystyle *}符号表示复共轭。

在a=a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}和b=a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}的情况下。其中a 0 > 1 {/displaystyle a_{0}>1}。T > 0 {displaystyle T>0}和m {displaystyle m}和k {displaystyle k}是整数常数，小波变换称为离散小波变换（连续信号）。

在a=2 m {displaystyle a=2^{m}}和b=2 m k T {displaystyle b=2^{m}kT}的情况下。，其中m > 0 {displaystyle m>0}。，离散小波变换被称为dyadic。它被定义为

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m．)。k)={frac {1}{/sqrt {2^{m}}}}/int _{-/infty }^{infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

哪儿

• m {displaystyle m}是频率刻度。
• k {displaystyle k}是时间尺度，而
• T {displaystyle T}是常数，它取决于母小波。

可以将二元离散小波变换改写为

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

其中h m {\displaystyle h_{m}}是连续滤波器的脉冲特性，它与ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}给定m {\displaystyle m}的脉冲特性相同。

类似地，离散时间（离散信号）的对偶小波变换被定义为