小波变换
小波变换是信号的一种时频表示。例如，我们用它来降噪、特征提取或信号压缩。
连续信号的小波变换定义为
[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a．)。b)={frac {1}{/sqrt {a}}}/int _{-/infty }^{/infty }{f(t)/psi ^{*}/left({frac {t-b}{a}}/right)}dt,} ={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,}](https://www.alegsaonline.com/image/ea84e85c35569d9053282bf88be117d76128d35c.svg)
,
哪儿
- ψ {displaystyle {psi}
就是所谓的母小波。 - a {displaystyle a}
表示小波扩张。 - b {displaystyle b
}表示小波的时移和。 - ∗ {\displaystyle *}
符号表示复共轭。
在a=a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}
和b=a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}的情况下。
其中a 0 > 1 {/displaystyle a_{0}>1}。
T > 0 {displaystyle T>0}和m
{displaystyle m}和k
{displaystyle k}是
整数常数，小波变换称为离散小波变换（连续信号）。
在a=2 m {displaystyle a=2^{m}}
和b=2 m k T {displaystyle b=2^{m}kT}的情况下。
，其中m > 0 {displaystyle m>0}。
，离散小波变换被称为dyadic。它被定义为
[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m．)。k)={frac {1}{/sqrt {2^{m}}}}/int _{-/infty }^{infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}](https://www.alegsaonline.com/image/d834e62bcf0caff3a13903c782712744416c252b.svg)
,
哪儿
- m {displaystyle m}是频率刻度。
- k {displaystyle k}是时间尺度，而
- T {displaystyle T}
是常数，它取决于母小波。
可以将二元离散小波变换改写为
[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} =\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}](https://www.alegsaonline.com/image/b140c690c6b3898abefc134920b9480b90f17828.svg)
,
其中h m {\displaystyle h_{m}
}是连续滤波器的脉冲特性，它与ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}
}给定m {\displaystyle m}的脉冲特性相同。
类似地，离散时间（离散信号）的对偶小波变换被定义为
频率击穿信号的连续小波变换。使用5个消失矩的symlet。
问题和答案
问：什么是小波变换？答：小波变换是信号的时频表示，用于降噪、特征提取或信号压缩。
问：如何定义连续信号的小波变换？
答：连续信号的小波变换被定义为一个函数的所有值乘以一个母小波的积分，其中参数 "a "和 "b "分别表示扩张和时间移动。
问：什么是二元离散小波变换？
答：二元离散小波变换是常规离散小波变换的离散版本，具有频率尺度 "m"、时间尺度 "k "和常数 "T"。它们可以被重写为一个函数的所有值的积分乘以一个脉冲特性滤波器，该滤波器与给定的m的母小波相同。
问："母小波 "在这里指的是什么？
答：在这里，"母小波 "指的是与其他函数一起使用的函数，这些函数构成了计算特定类型变换（在这里是小波变换）的基础。
问：如何计算二元离散小波？
答：二元离散小波是用一个函数的所有值的积分乘以一个脉冲特性滤波器来计算的，该滤波器在给定的m下与母小波相同。此外，它们需要频率尺度m、时间尺度k和常数T作为参数。
问：定义连续小波时，"a "和 "b "代表什么？
答：定义连续小波时，"a "代表扩张，"b "代表时间移动。
