中心极限定理
中心极限定理是概率论的定理。它们说，给定大量的独立随机变量，它们的总和将遵循一个稳定的分布。如果随机变量的方差是有限的，就会产生一个高斯分布。这就是为什么这种分布也被称为正态分布的原因之一。
其中最著名和最重要的是中心极限定理。它是关于大量具有相同分布的随机变量，并且具有有限的方差和期望值。
这个定理有不同的概括。其中一些概括不再要求所有随机变量的分布完全相同。在这些概括中，另一个前提条件确保没有任何一个随机变量比其他随机变量对结果有更大的影响。林德伯格和李亚普诺夫条件就是例子。
该定理的名称是根据乔治-波利亚在1920年写的一篇论文《关于概率论中的中心极限定理和时刻问题》。
问题和答案
问：什么是中心极限定理？答：中心极限定理（CLT）是一个关于聚合概率分布的极限行为的定理。它指出，给定大量的独立随机变量，它们的总和将遵循一个稳定的分布。如果随机变量的方差是有限的，那么将产生一个高斯分布。
问：这个定理所依据的论文是谁写的？
答：George Pَlya在1920年写了《关于概率论中的中心极限定理和时刻问题》这篇论文，它是这个定理的基础。
问：当所有随机变量都具有有限方差时，会产生哪种类型的分布？
答：当所有随机变量都具有有限方差时，应用CLT将产生高斯或正态分布。
问：对CLT有什么概括吗？
答：有，CLT有不同的概括，不再要求所有随机变量的分布完全相同。这些概括包括Lindeberg和Lyapunov条件，它们确保没有任何一个随机变量比其他随机变量对结果有更大的影响。
问：这些泛化是如何进行的？
答：这些概括通过引入林德伯格和李亚普诺夫条件等额外的前提条件，确保没有任何一个随机变量比其他变量对结果有更大影响。
问：CLT对具有相同分布的大量独立随机变量的样本平均值和总和是怎么说的？
答：根据CLT，如果n个相同且独立分布的随机变量，其平均值ى { displaystyle \mu }和标准差ى { displaystyle \sigma }，那么它们的样本平均值(X1)和标准差(sigma)是相同的。那么它们的样本平均值（X1+...+Xn）/n将是近似正态的，其平均值ى {displaystyle \mu }和标准偏差َ/√n {displaystyle {tfrac {sigma }{sqrt {n}}}} 。此外，它们的总和X1+...+Xn也将是近似正态的，其平均值nى {displaystyle n\mu }和标准差√nَ {displaystyle {sqrt {n}}\sigma }。.
