費馬數

费马数是一个特殊的正数。费马数是以皮埃尔-费马的名字命名的。产生这些数的公式是

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}+1}}。 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}

其中n是一个非负整数。前九个费马数是(OEIS中的序列A000215):

F0 = 21 + 1 = 3

F1 = 22 + 1 = 5

F2 = 24 + 1 = 17

F3 = 28 + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

截至2007年,只有前12个费马数被完全分解。(写成质数的乘积)这些分解可以在费马数的质因数中找到。

如果2n+1是质数,且n>0,可以证明n一定是2的幂。每一个形式为2n+1的质数都是费马数,这样的质数称为费马质数。已知的费马质数只有F0,...,F4

关于费马数的趣事

  • 没有两个费马数有共同的除数。
  • 费马数可以递归计算。为了得到第N个数,把前面所有的费马数相乘,然后把结果加2。

它们的用途

今天,费马数可以用来生成随机数,在0和某个值N之间,也就是2的幂。

费马猜想

Fermat, when he was studying these numbers, conjectured that all Fermat numbers were prime.这被证明是错误的Leonhard Euler,谁因子化F 5 {\displaystyle F_{5}{\displaystyle F_{5}}}在1732年。

问题和答案

问:什么是费马数?
答:费马数是一个以皮埃尔-德-费马命名的特殊正数。它由公式F_n = 2^2^(n) + 1产生,其中n是一个非负整数。

问:有多少个费马数?
答:截至2007年,只有前12个费马数被完全分解了。

问:前九个费马数是什么?
A: 前九个费马数是 F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417) 。F6=18446744073709551617(274177×67280421310721),F7=340282366920938463463374607431768211457(59649589127497217×5704689200685129054721)。和 F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937(1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321)。

问:对于形式为2n+1的质数,可以说什么?
答:如果2n+1是质数,并且n>0,那么可以证明n一定是2的幂。每一个2n + 1形式的素数也是一个费马数,这样的素数被称为费马素数。唯一已知的费马素数是从0到4。

问:哪里可以找到所有12个已知因数的费马数的因式分解?
答:所有12个已知因数的费马数的因式分解都可以在费马数的主因数中找到。

问:Pierre de Fermaat是谁?
答:皮埃尔-德-费尔马特是一位有影响力的法国数学家,他生活在17世纪,他的工作为现代数学奠定了很多基础。他最著名的是对概率论和解析几何的贡献,以及他著名的最后定理,该定理直到1995年才被安德鲁-怀尔斯用代数几何的方法最终证明,至今仍未解决。

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