费马数（F_n=2^{2^n}+1）——定义、公式与已知因数分解

深入解读费马数（F_n=2^{2^n}+1）：定义、推导公式、已知因数分解与费马质数的历史与最新发现，适合数学爱好者与研究参考。

费马数（Fermat numbers）是一类特殊的整数，通常记作 Fₙ，定义为 F_n = 2²ⁿ + 1，其中 n 为非负整数。这个名称来自于法国数学家皮埃尔-费马的命名。下面同时保留一幅常见的数学表示图像： F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}+1}}。

前几个费马数与已知因数

• F₀ = 2¹ + 1 = 3
• F₁ = 2² + 1 = 5
• F₂ = 2⁴ + 1 = 17
• F₃ = 2⁸ + 1 = 257
• F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537
• F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
• F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
• F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
• F₈ = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

以上序列在OEIS中对应序列 A000215。历史上，费马曾猜测所有 F_n 都是质数，但欧拉（Euler）在 1732 年证明 F₅ 是合数（找到质因子 641），从此该猜想被推翻。

基本性质与重要结论

• 递推关系：费马数满足 F_n = F₀·F₁·…·F_n−1 + 2。 由此可直接推出任意两个不同的费马数互素（即 gcd(F_m, F_n) = 1，m ≠ n）。
• 质因数的形状：如果奇素数 p 整除 F_n（n ≥ 1），则 p − 1 可以被 2ⁿ⁺¹ 整除，即 p ≡ 1 (mod 2ⁿ⁺¹)。这个结论来自于 2 的阶的性质：2²ⁿ ≡ −1 (mod p)，进而得出 2 的阶为 2ⁿ⁺¹，而阶必须整除 p−1。
• 费马质数：如果形式 2^m + 1 是质数且 m > 0，则 m 必须是 2 的幂（否则数可被 2^d + 1（d|m）分解）。因此将 m 取为 2ⁿ，所得的质数就是费马质数。已知的费马质数只有 F₀, …, F₄（即 3、5、17、257、65537）。

分解与已有计算结果

许多较大的费马数被证明是合数且已找到部分或全部质因子。历史上对费马数的因数分解吸引了大量计算工作：

• 欧拉很早就找到 F₅ 的因子 641。
• 后来数学家和业余爱好者通过协作与大量计算，陆续找到了 F₆、F₇、F₈ 等的已知质因子。
• 到 21 世纪以来，更多更大的费马数被证明为合数并有部分因子被发现，但对于许多高索引的费马数，其余因子仍然很大且未被完全分解。
• 例如在 2007 年之前的工作中有报告称前若干个费马数已被完全分解（写成质数的乘积），但随着时间推移更多的因子被发现，同时也有许多未完全分解的情形依然存在。

应用与历史意义

• 几何构造：高斯证明，一个正多边形可以用直尺和圆规作图当且仅当其边数为 2^k 或 2^k·p1·p2·…·pr，其中 p1,…,pr 为互不相同的费马质数。因此费马质数与可作图多边形密切相关。
• 数论研究中的典型对象：费马数展示了初看简单的指数形式背后可能隐藏的复杂结构，是研究质数分布、素因数定理与计算数论的重要对象。

总结：费马数由简单的公式产生，具有有趣的代数与数论性质（互素性、质因数的同余条件、与可作图多边形的联系等）。尽管最初有人猜测所有费马数均为质数，但实际只发现前五个为质数，后续的大多数都被证明为合数且分解问题仍是计算数论中的挑战。

更多关于费马数的具体因数分解、最新发现和详尽表格可以在专门的因数分解数据库及相关文献中查阅；若需可以提供特定 F_n 的最新分解情况或链接。

注：文中保留并使用了页面原有的若干链接和公式图像以便参考，例如“正数”、“皮埃尔-费马的”、以及“OEIS”，并保留了用于说明公式的图像。

问题和答案

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