算术基本定理

第一个证明该定理的人是欧几里德。第一个详细而正确的证明是在卡尔-弗里德里希-高斯的《算术学论》中。

有些人可能认为，该定理在任何地方都是真的。然而，该定理在更一般的数系中并不成立，比如代数整数。这一点最早是由恩斯特-库默在1843年提到的，在他关于费马最后定理的工作中。关于这一点的更多信息：请阅读代数数论。

证明包括两部分：首先，我们表明每个数字都可以写成素数的乘积；其次，我们表明，如果我们第二次将一个数字写成素数的乘积，那么两个素数列表一定是相同的。

证明的第一部分

我们表明，如果不是每个大于1的数都可以写成素数的乘积，那么我们最终会陷入某种不可能。因此，之后我们得出结论，每个数字都可以写成素数的乘积，这一定是真的。

那么，现在看看当有人说他/她知道一个大于1的正整数不能被写成素数的乘积时会发生什么。在这种情况下，我们要求他/她提到所有大于1的、不能被写成素数乘积的数字。这些数字中必须有一个是最小的：让我们称之为n。此外，它不可能是一个素数，因为素数是一个单一素数的 "乘积"：它本身。所以它必须是一个数字的乘积。因此

n = ab

其中a和b都是正整数，当然比n小。但是：n是不能写成素数乘积的最小的数。所以一定可以把a和b写成素数的乘积，因为它们都比n小。

n = ab

也可以写成素数的乘积。这是不可能的，因为我们说过n不能被写成素数的乘积。

我们现在已经证明了如果定理的第一部分不成立的话，就会存在不可能性。这样，我们现在已经证明了定理的第一部分。

证明的第二部分

现在我们要证明，只有一种方法可以把大于1的正数写成素数的乘积。

为了做到这一点，我们使用以下定理：如果一个素数p除以一个积ab，那么它就除以a或除以b（欧几里德定理）。首先我们现在证明这个定理。那么，假设p不除以a，那么p和a是共素数，我们有Bezout的特性，即一定有整数x和y，使得

px + ay = 1。

将所有的东西与b相乘，得到

pbx + aby = b。

请记住，ab可以被p整除。所以现在，在左边我们有两个项可以被p整除。

现在我们要证明，我们只能用一种方式把大于1的整数写成素数的乘积。取两个质数A和B的乘积，其结果相同。所以我们知道这两个乘积的结果是A=B。从第一个乘积A中取任何一个素数p，它除以A，所以它也除以B。利用我们刚刚证明的几次定理，我们可以看到p必须至少除以B的一个因子b。但是我们知道p也是素数，所以p一定等于b。所以现在我们用p除以A，同时用p除以B，得到的结果是A*=B*。我们又可以从第一个产品A*中抽取一个素数p，然后发现它等于产品B*中的某个数字。这样继续下去，最后我们看到，两个产品的质因数一定是完全相同的。这证明了我们只能用一种唯一的方式将一个正整数写成素数的乘积。