庞加莱猜想是数学中关于球体的问题，它是由法国数学家和物理学家亨利-庞加莱在1904年提出的。它是以1904年提出这个问题的法国数学家和物理学家亨利-庞加莱的名字命名的。
球体（也叫2-sphere，因为它是一个二维表面，虽然通常被看成是在三维空间里面）具有这样的特性：球体上的任何一圈都可以收缩到一点（如果在球体上缠上橡皮筋，就可以把它滑落到一点）。数学家说，2-球体是简单连接的。其他空间则没有这个性质，例如甜甜圈：橡皮筋绕着整个甜甜圈转一圈，不可能在不离开表面的情况下滑落到某一点。
数学家们知道，这个性质是2-球所独有的，从这个意义上说，任何其他没有边且足够小的简单连接空间（用数学家的术语来说，就是紧凑的），其实就是2-球。然而，如果我们去掉小的概念，就不再是这样了，因为一个无限大的平面也是简单连接的。另外，一个规则的圆盘（圆和它的内部）也是简单连接的，但它有一个边（边界圆）。
该猜想问的是，对于3-sphere这个自然生活在四维中的物体，是否也是如此。这个问题在很大程度上激发了现代数学，尤其是拓扑学领域的研究。2002年，俄罗斯数学家格里戈里-佩雷尔曼（Grigori Perelman）用几何学的方法最终解决了这个问题，证明了这个问题确实存在。他的工作获得了菲尔兹奖章和100万美元的千年奖，但他都拒绝了。
Poincaré猜想也可以扩展到更高维度：这就是广义的Poincaré猜想。令人惊讶的是，对于更高维度的球体来说，证明这一事实比较容易：1960年，Smale证明了5-球体、6-球体和更高维度的球体是真实的，1982年，Freedman证明了4-球体也是真实的。1982年，弗里德曼证明了4-球体也是如此，并因此获得了菲尔兹奖章。