2的平方根，或2的(1/2)次方，在数学上写成√2或21⁄2 ，是一个正的无理数，当它乘以自身时，等于数字2。更正确的说法是，它被称为2的主平方根，以区别于它本身的负数版本，后者也是如此。
在几何学上，2的平方根是横跨边长为1的正方形的对角线的长度；这可以通过勾股定理找到。
2的平方根
2的平方根不是有理数的证明
数字2 {displaystyle {sqrt {2}}
，不是有理数。下面是证明。
- 假设2 {displaystyle {sqrt {2}} 是有理的。因此，有一些数字a , b {displaystyle a,b}
，使得a / b = 2 {displaystyle a/b={sqrt {2}}
。 - 我们可以选择a和b，使a或b都是奇数。如果a和b都是偶数，那么分数可以简化（例如，不写2 4 {displaystyle {frac {2}{4}}，而是写1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}}。
我们可以写1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}}
。） - 如果方程的两边都是平方，那么我们可以得到a2 / b2 = 2，a2 = 2 b2 。
- 右边是2 b 2 {displaystyle 2b^{2}}。
.这个数字是偶数。所以左边的也必须是偶数。所以a 2 {displaystyle a^{2}}
是偶数。如果一个奇数被平方，那么结果将是一个奇数。而如果一个偶数被平方，那么一个偶数也会是结果。所以一个{displaystyle a}
是偶数。 - 因为a是偶数，可以写成：a=2 k {displaystyle a=2k}
。 - 使用步骤3的方程式。我们得到2b2 = (2k)2
- 可以使用指数化法则（见文章）--结果是2 b 2 = 4 k 2 {displaystyle 2b^{2}=4k^{2}。
. - 两边都除以2，所以b 2 = 2 k 2 {displaystyle b^{2}=2k^{2}}。
.这意味着，b {displaystyle b}
是偶数。 - 在第2步，我们说a是奇数或b是奇数。但在第4步，我们说a是偶数，而在第7步，我们说b是偶数。如果我们在第1步所做的假设是真的，那么所有这些其他的事情都必须是真的，但是由于它们彼此不一致，它们不可能都是真的；这意味着我们的假设不是真的。
2 {displaystyle {sqrt {2}} 是一个有理数，这不是真的。所以2 {displaystyle {sqrt {2}} 是无理数。