常數函數

基本属性

形式上，一个常数函数f(x):R→R的形式是f ( x )=c {\displaystyle f(x)=c} 。通常我们写y ( x )=c {\displaystyle y(x)=c}或者直接写y =c {\displaystyle y=c}。

• 函数y=c有2个变量x和у和1个常数c。（在这种形式的函数中，我们看不到x，但它就在那里）。

• 常数c是一个实数。在处理线性函数之前，我们先用一个实数来代替c。
• y=c的域或输入是R，所以可以输入任何实数x。然而，输出总是c的值。
• y=c的范围也是R，但由于输出的永远是c的值，所以同域只是c。

例子:函数y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}或只是y = 4 {\displaystyle y=4}是具体的常数函数，其中输出值为c = 4 {\displaystyle c=4}。域是所有实数↪Lu_211D↩。编码域只是{4}。即：y(0)=4，y(-2.7)=4，y(π)=4，....输入什么值的x，输出都是"4"。

• 常数函数y=c {\displaystyle y=c}的图象是平面内的一条水平线，它通过点（0 ，c）{\displaystyle（0，c）}。
• 若c≠0，则常数函数y=c是一变量x的多项式，度数为零。

• 这个函数的y-截距为点(0,c)。
• 这个函数没有x截距。也就是说，它没有根或零。它永远不会与 x 轴交叉。

• 如果c=0，那么我们有y=0.这就是零多项式或同零函数。每一个实数x都是一个根。y=0的图形是平面内的x轴。
• 常数函数是一个偶数函数，所以y轴是每个常数函数的对称轴。

常数函数的导数

在定义函数的上下文中，函数的导数衡量的是函数（输出）值相对于输入值的变化率。一个恒定的函数不会改变，所以它的导数为0。   ( c ) ′ = 0 {displaystyle (c)'=0} 。

例：y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}是一个常数函数。y 的导数是同零函数 y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

反之（相反）也是如此。也就是说，如果一个函数的导数到处都是零，那么这个函数就是一个常数函数。

数学上我们写下这两个语句。

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 ,∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c,\,eftrightarrow,y'(x)=0,,\,\,forall xin mathbb {R} }。

一般化

如果对A中的每一个a和b，f(a)=f(b)，则函数f : A → B是一个常数函数。

例子

真实世界的例子。一家商店的每件商品都卖1欧元。这个函数的域是商店里的物品。编码域是1欧元。

举例说明。设f : A → B，其中A={X,Y,Z,W}，B={1,2,3}，对每一个a∈A，f(a)=3。那么f是一个常数函数。

例：z(x,y)=2是由A=↪Lu_211D↩²到B=↪Lu_211D↩²的常数函数，其中每一点(x,y)∈↪Lu_211D↩²都映射到值z=2。该常数函数的图象是三维空间中通过点（0,0,2）的水平面（平行于x0y平面）。

例题:极函数ρ(φ)=2.5是将每个角φ映射到半径ρ=2.5的常数函数。这个函数的图象是平面内半径为2.5的圆。

其他属性

常数函数还有其他性质。参见英文维基百科上的常数函数

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• 多项式