函数

隐喻

表格

输入和输出可以像图片一样放在一个表格里，如果数据不是太多，这个很容易。

图形

在图中可以看到，2和3都已经和c配对，这在另一个方向是不允许的，2不可能输出c和d，每个输入只能有一个输出。所有的f( x ) {\displaystyle f(x)}都可以用f(x)来表示。(图中c和d)通常称为f{\displaystyle f}的图像集，图像集可以是全部的密码域，也可以不是。可以说，具有图像集的codomain的子集A就是f(A)。如果输入和输出有一个顺序，就很容易把它们绘制在图上。这样一来，图像集A上的图像就来了。这将使2和3都有了配对，在另一个方向上是不允许的，甚至可以在密码域与否之间进行配对。可以得出一个结论，即子集A的codomain是图像集是F(A)。

历程

在1690年代，戈特弗里德-莱布尼茨和约翰-伯努利在他们之间的字母中使用了函数这个词，所以现代概念与微积分同时开始。

1748年欧拉(Leonhard Euler)给出了。"可变量的函数是由可变量和数字或常量以任何方式组成的分析表达式" 然后在1755年："如果一些量如此依赖于其他量，以至于如果后者发生变化，前者也会发生变化，那么前者的量被称为后者的函数。这个定义的适用范围相当广泛，包括了一个量可以由其他量决定的所有方式。因此，如果x表示一个可变的量，那么所有以任何方式依赖于x或由它决定的量，都称为x的函数。"这是非常现代的。

通常，Dirichlet被认为是20世纪下半叶之前学校使用的版本。"y是变量x的函数，定义在区间a<x<b上，如果变量x在这个区间的每一个值都对应着变量y的一个确定的值，那么y就是变量x的函数。 另外，以何种方式建立这种对应关系并不重要。"

1939年，Bourbaki概括了Dirichlet定义，并给出了定义的集合理论版本，作为投入和产出之间的对应关系；大约从1960年开始，学校就开始使用这个定义。

最后在1970年，Bourbaki给出了现代定义，即三倍f= ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)}。，与F⊂X×Y ， ( x ，f ( x ) )∈F {displaystyle F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F}(即f : X → Y {displaystyle f:X\to Y}和F = { ( x , f ( x ) ) )| x∈X , f ( x ) ∈Y }。{displaystyle F={(x,f(x))|x/in X,f(x)/in Y/}}}).

职能类型

• 初等函数--平时在学校学习的函数：分数、平方根、正弦函数、余弦函数、正切函数等一些函数。
• 非元素函数--大多数函数没有使用我们在学校里没有学过的运算（如+或-，或幂）。许多积分都是非元素的。
• 反函数 - 撤销另一个函数的函数。例如：如果F(x)是f(x)=y的逆函数，那么F(y)=x。不是所有的函数都有反函数。
• 特殊功能。有名称的函数。例如：正弦、余弦和正切。像f(x)=3x(x的三次)这样的函数不叫特殊函数。它们可以是基本函数、非基本函数或反函数。