代数方程

在数学中，代数方程，也叫给定场上的多项式方程，是一个方程，其形式为

P = Q {\displaystyle P=Q}。

其中P和Q是该场上的多项式，并且有一个（单变量）或多个（多变量）变量。例如：

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{frac {xy}{2}}={frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{frac {1}{7}}}}。

是一个有理数上的代数方程。

如果两个方程的解集相同，则称为等价。这意味着第二个方程的所有解也必须是第一个方程的解，反之亦然。The equation P = Q {\displaystyle P=Q} is equivalent with P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} .所以代数方程的研究相当于多项式的研究。

如果一个代数方程在理式之上，总可以把它转化为一个等价方程，其中所有的系数都是整数。例如，在上面给出的方程中，我们乘以42=2-3-7，并将第一个成员中的项进行分组。该方程转换为

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}。

方程的解是方程为真的变量的值。但是对于代数方程来说，也有所谓的根。在解方程的时候，我们需要说解在哪个集合里是可以的。例如，对于一个方程在理数上的方程，可以在整数中找到解。那么，这个方程就是一个二叉方程。人们还可以在复数领域中寻找解。也可以在实数中寻找解。

Ancient mathematicians wanted the solutions of univariate equations (that is, equations with one variable) in the form of radical expressions, like x = 1 + 5 2 {/displaystyle x={/frac {1+{/sqrt {5}}}{2}}} for the positive solution of x 2 + x - 1 = 0 {/displaystyle x^{2}+x-1=0} .古埃及人知道如何解决2度方程（即方程中的变量的最高功率是2）以这种方式。文艺复兴时期，Gerolamo Cardano解出了3度方程，Lodovico Ferrari解出了4度方程，最后Niels Henrik Abel在1824年证明了5度方程和更高的度数方程不能总是用基数来解。以Évariste Galois命名的Galois理论被引入，以给出决定一个方程是否可以用基数解的标准。

问题和答案

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