代数方程

数学中,代数方程,也叫给定场上的多项式方程,是一个方程,其形式为

P = Q {\displaystyle P=Q}。 {\displaystyle P=Q}

其中PQ是该场上的多项式,并且有一个(单变量)或多个(多变量)变量。例如:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{frac {xy}{2}}={frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{frac {1}{7}}}}。 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

是一个有理数上的代数方程。

如果两个方程的解集相同,则称为等价。这意味着第二个方程的所有解也必须是第一个方程的解,反之亦然。The equation P = Q {\displaystyle P=Q} {\displaystyle P=Q}is equivalent with P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0{\displaystyle P-Q=0}} .所以代数方程的研究相当于多项式的研究。

如果一个代数方程在理式之上,总可以把它转化为一个等价方程,其中所有的系数都是整数。例如,在上面给出的方程中,我们乘以42=2-3-7,并将第一个成员中的项进行分组。该方程转换为

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}。 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

方程的解是方程为真的变量的值。但是对于代数方程来说,也有所谓的。在解方程的时候,我们需要说解在哪个集合里是可以的。例如,对于一个方程在理数上的方程,可以在整数中找到解。那么,这个方程就是一个二叉方程。人们还可以在复数领域中寻找解。也可以在实数中寻找解。

Ancient mathematicians wanted the solutions of univariate equations (that is, equations with one variable) in the form of radical expressions, like x = 1 + 5 2 {/displaystyle x={/frac {1+{/sqrt {5}}}{2}{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}} for the positive solution of x 2 + x - 1 = 0 {/displaystyle x^{2}+x-1=0{\displaystyle x^{2}+x-1=0}} .古埃及人知道如何解决2度方程(即方程中的变量的最高功率是2)以这种方式。文艺复兴时期,Gerolamo Cardano解出了3度方程,Lodovico Ferrari解出了4度方程,最后Niels Henrik Abel在1824年证明了5度方程和更高的度数方程不能总是用基数来解。以Évariste Galois命名的Galois理论被引入,以给出决定一个方程是否可以用基数解的标准。

问题和答案

问:什么是代数方程?
答:代数方程是一个形式为P=Q的方程,其中P和Q是一个或多个变量的特定域上的多项式。

问:两个方程如何能等价?
答:如果两个方程有相同的解集,就被认为是等价的,这意味着一个方程的所有解也必须是另一个方程的解,反之亦然。

问:解方程是什么意思?
答:解方程意味着找到使方程成立的变量值。这些值被称为根。

问:有理数的代数方程是否总能转换为整数系数的方程?
答:是的,通过将两边都乘以一个数字,如42=2-3-7,并将第一个成员中的项分组,任何有理数的代数方程都可以转换为整数系数的方程。

问:古代数学家什么时候想要单变量方程的根式?
答:在文艺复兴时期,古代数学家希望对单变量方程(单变量方程)使用根式表达(如x=1+√5/2)。


问:这一时期谁解决了3度和4度方程?
答:Gerolamo Cardano解决了3度方程,Lodovico Ferrari在这个时期解决了4度方程。

问:谁证明了高次方程不能总是用根式求解?
答:Niels Henrik Abel在1824年证明了高次方程不能总是用根式求解。

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