分形

分形是指任何图案,当被视为图像时,会产生一个图片,当放大时仍会产生相同的图片。它可以被切割成若干部分,看起来就像开始时的图片的一个缩小版。分形这个词是由Benoît Mandelbrot在1975年从拉丁语fractus中提出的,意思是 "破碎 "或 "断裂"。一个简单的例子是一棵树,它的树枝被分成更小的树枝,而这些树枝又被分成更小的树枝,以此类推。分形不仅美丽,而且有许多实际应用。



一个Sierpinski三角形,经过7次迭代。Zoom
一个Sierpinski三角形,经过7次迭代。

曼德布罗特集是分形的一个著名例子。Zoom
曼德布罗特集是分形的一个著名例子。

例子

分形的类型很多,制作方式也很多样。其中一个例子是西尔宾斯基三角形,在这个大三角形内有无数个小三角形。另一个例子是曼德布罗特集,以Benoît Mandelbrot命名。西尔宾斯基三角形是用图案构建的,但曼德布罗特集是基于一个方程的。

自然界中也有许多分形的例子,包括树木、雪花、一些蔬菜和海岸线。

科赫曲线

科赫曲线是分形的一个简单例子。首先,从一条直线的一部分开始--称为直线段。将该线段切成3个同样大小的片段。去掉中间的部分,然后放入一个三角形的上半部分,其边长与要切掉的部分相同。我们现在有4条线段,它们的两端是相通的。我们现在可以对4个比特中的每一个做我们刚才对第一个线段所做的事情。现在我们可以对所有的位子重复做同样的事情。我们现在永远这样做,看看我们最后得到了什么。

科赫曲线的长度是无限的,而科赫曲线的面积是零。这是很奇怪的。一条线段(维数为1)可能有1的长度,但它的面积为0。一个长为1,宽为1的正方形(维数为2)将有1的面积和无穷的长度。

相似性维度

因此,科赫曲线似乎比维度1的东西大,而比维度2的东西小。相似性维度的概念是为了给分形的长度或面积提供一个更好的概念。因此,对于科氏曲线,我们希望维度在1到2之间。

科赫曲线可以被切割成四块,每块都是原始大小的1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}} 。我们把一个分形可以切成的片数称为N {displaystyle N}{\displaystyle N} ,我们把大小差异称为B {displaystyle B}{\displaystyle B} 。我们把这些放入方程。

log N - log B {displaystyle {frac {log N}{-log B}}}。 {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}

其中log {displaystyle log }{\displaystyle \log } 是一个数字的对数。这个数字是分形的Hausdorff维度。在科赫曲线中,这就是log 4 - log 1 3 = 1.2619...{displaystyle {frac {log 4}{-log {frac {1}{3}}}}=1.2619...}{\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {1}{3}}}}=1.2619...} ,因为我们想。

科赫曲线是最简单的分形之一,因此它的维数很容易算出来。它的相似性维度和Hausdorff维度都是一样的。但对于更复杂的分形来说,这就不是真的了。

科赫雪花

科赫雪花(或科赫星)与科赫曲线相同,只是它以一个等边三角形而不是线段开始。



如何制作科赫曲线Zoom
如何制作科赫曲线

Zoom


使用

分形有许多应用,例如在生物学(肺、肾、心率变异等)、地震、金融学(与所谓的重尾分布有关)和物理学中。这表明应该对分形进行研究,以了解为什么分形在自然界如此频繁。

有些分形只是出于艺术原因而存在,但其他分形却非常有用。分形是无线电天线非常有效的形状,在计算机芯片中被用来有效连接所有部件。另外,海岸线也可以被认为是分形。



问题和答案

问:什么是分形?
答:分形是指任何一种图案,当它被看作一幅图像时,所产生的画面在放大后仍会是同样的画面。

问:谁创造了 "分形 "一词?
答:Benoît Mandelbrot 于 1975 年创造了 "分形 "一词。

问:"分形 "一词的词源是什么?
答:"分形 "一词源于拉丁语 "fractus",意为 "破碎的 "或 "断裂的"。

问:分形可以切割成不同的部分吗?
答:是的,分形可以被切割成多个部分,这些部分看起来就像最初图片的缩小版。

问:您能举一个分形的例子吗?
答:分形的一个简单例子是一棵树,它的分支变成了更小的分支,这些分支又变成了更小的分支,以此类推。

问:分形有哪些实际应用?
答:分形有许多实际应用,如计算机图形学、医学、物理学和金融学。

问:为什么分形很重要?
答:分形之所以重要,是因为它可以帮助我们理解复杂的自然现象,并创建更精确的模型和模拟。

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