对数

历程

公元前2世纪，印度首次使用对数。第一个使用对数在现代是德国数学家迈克尔-斯蒂弗尔（约1487-1567）。In 1544, he wrote down the following equations: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} and q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}}。这是理解对数的基础。For Stifel, m {displaystyle m} and n {displaystyle n} had to be whole numbers.约翰-纳皮尔（1550-1617）不希望这种限制，并希望指数的范围。

根据Napier的观点，对数表示比率：a {displaystyle a}与b {displaystyle b}具有相同的比率，就像c {displaystyle c}与d {displaystyle d}一样，如果它们的对数之差相匹配。数学上：log（a）-log（b）=log（c）-log（d） {\displaystyle \log（a）-log（b）=\log（c）-\log（d）}。起初，使用的是基数e(尽管这个数字还没有被命名)。Henry Briggs提议用10作为对数的基数，这种对数在天文学中非常有用。

约翰-纳皮尔曾研究过对数

与指数函数的关系

对数告诉人们，要做某一个数需要什么指数（或幂），所以对数是指数的倒数（反数）。

正如指数函数有三个部分一样，对数也有三个部分。对数的三个部分是一个基数、一个参数和一个答案（也叫幂）。

这是一个指数函数。

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}。

在这个函数中，基数是2，参数是3，答案是8。

这个指数函数有一个倒数，就是它的对数。

log 2 ( 8 )=3 {/displaystyle \log _{2}(8)=3 }。

在这个对数中，基数是2，参数是8，答案是3。

与根部的区别

加法有一个逆运算：减法。同时，乘法也有一个逆运算：除法。因此，大家可能很难理解，为什么指数其实有两个逆运算。如果已经有了根，为什么还要用对数？之所以如此，是因为指数化不是换算的。

下面的例子可以说明这一点。

• 如果你有x+2=3，那么你可以用减法来找出x=3-2。如果你有2+x=3也是一样：你也可以得到x=3-2。这是因为x+2和2+x是一样的。
• 如果你有x - 2=3，那么你可以用除法来求出x= 3 2 {\textstyle {frac {3}{2}}}}。.如果你有2-x=3，这也是一样的：你也可以得到x=3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}}。.这是因为x-2与2-x相同。
• 如果你有x²=3，那么你就用（平方）根来求x。你得到的结果是 x = 3 {textstyle {sqrt {3}}}{textstyle {sqrt {3}}}}}.然而，如果你有^2x=3，那么你就不能用根来计算x，而是要用（二进制）对数来计算x。你得到的结果是x=_log2(3).
  这是因为^2x通常与x2不一样（例如，²⁵=32但5²=25）。

用途

对数可以使大数的乘法和除法变得更容易，因为加对数和乘法一样，减对数和除法一样。

在计算器流行和普及之前，人们用书本上的对数表进行乘除。对数表中的相同信息在滑尺上也能得到，滑尺是一种写有对数的工具。

• 对数螺旋形在自然界中很常见。例子包括鹦鹉螺的壳或向日葵的种子排列。
• 在化学中，氢离子（H3O⁺，H⁺在水中的形式）活性的基数-10对数的负值被称为pH值。在25℃时，中性水中氢离子的活度为10^-7mol/L，因此pH值为7（这是平衡常数的结果，即水溶液中氢离子和羟基离子浓度的乘积为10^-14M2）。
• 里氏震级以基数10的对数来衡量地震强度。
• 在天文学中，视亮度是以对数方式测量恒星的亮度，因为眼睛对亮度的反应也是对数的。
• 音乐音程是以半音为对数来测量的。以半音为单位的两个音符之间的音程是频率比的基数^-21/12对数（或相当于基数-2对数的12倍）。小数半音用于非等音调。特别是为了测量与等调性音阶的偏差，音程也用分（等调性半音的百分之一）表示。两个音符之间的音程用分表示，就是频率比的基数^-21/1200对数（或基数-2对数的1200倍）。在MIDI中，音符的编号是在半音阶上（对数绝对名义音高，中间C为60）。对于其他调音系统的微调，一个对数音阶被定义为填充在等调音阶的半音之间的范围。这个音阶对应于整数半音的音号。(见MIDI中的微调)。

普通对数

以10为基数的对数称为普通对数。它们通常不写基数。例如：

log ( 100 )=2 {\displaystyle \log(100)=2}。

这意味着：

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100}。

自然对数

以e为基数的对数称为自然对数。数字e接近2.71828，也被称为欧拉常数，以数学家Leonhard Euler的名字命名。

自然对数可以取符号 log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} 或 ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,}。

有些作者喜欢使用自然对数作为log ( x ) {\displaystyle \log(x)}，但通常在序言页上提到这一点。

对数的常用基础

基础	缩略语	评论
2	ld {displaystyle {operatorname {ld}}。}	在计算机科学（二进制）中非常常见
e	ln {displaystyle ln}或简单的log {displaystyle log}。	其基础是欧拉常数e，这是纯数学中最常用的对数。
10	log 10 {displaystyle log _{10}} 或 log {displaystyle log }。(有时也写成lg {\displaystyle \lg })	用于化学、生物等一些科学领域。
任意数字	log n {displaystyle \log _{n}}。	这就是写对数的一般方法。

对数的属性

对数有很多特性。例如：

从对数的定义看属性

这个属性直接来自于对数的定义。

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a}。比如说

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3}。和

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1}因为1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {frac {1}{2}}}=2^{-1}}}。.

一个数a的
对数到基数b的对数等于a的对数除以b的对数，也就是说。

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\b(b)}}}。

例如，让a是6，b是2。用计算器我们可以证明这是真的，或者至少是非常接近的。

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={frac {\log(6)}{\log(2)}}}。

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}。

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}。

我们的结果有一个小误差，但这是由于数字的四舍五入造成的。

由于自然对数很难想象，我们发现，在基数十对数方面。

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle ln(x)={frac {\log(x)}/{log(e)}}\approx {frac {\log(x)}{0.434294}}}。其中0.434294是e的对数的近似值。

 

对数参数内的操作

在其参数内相乘的对数可以按以下方式改变。

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+log(b)}。

例如：

log ( 1000 )=log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 )=log ( 10 )+log ( 10 )+log ( 10 )=1+1+1=3 {\displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle

同样的道理也适用于除法，但用减法代替加法，因为它是乘法的逆运算。

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}。

对数表、幻灯片规则和历史应用。

在电子计算机之前，科学家们每天都在使用对数。对数在天文学等许多领域帮助了科学家和工程师。

在计算机之前，对数表是一个重要的工具。1617年，亨利-布里格斯印制了第一张对数表。这是在纳皮尔的基本发明之后不久。后来，人们又制作了范围和精度更好的表格。这些表列出了在一定范围内、一定精度、一定基数b（通常b=10）的任何数字x的对数_b（x）和^bx的值。例如，布里格斯的第一张表包含了1-1000范围内所有整数的常用对数，精度为8位。由于函数f(x)=^bx是_logb(x)的反函数，所以人们把它称为反对数。人们用这些表格来进行数字的乘法和除法。例如，一个用户在表中分别查找了两个正数的对数。将表中的数字相加，就可以得到积的对数。然后，该表的反对数功能将根据其对数找到积。

对于需要精确性的手工计算，进行两个对数的查找，计算它们的和或差，并查找反对数，比用前面的方法进行乘法要快得多。

许多对数表在给出对数时，分别提供了x的特征和万位数，也就是对数₁₀(x)的整数部分和分数部分。10-x的特征是1加上x的特征，它们的意义是相同的。这就扩大了对数表的范围：给定一个列出从1到1000的所有整数x的对数₁₀(x)的表，3542的对数近似值为

log 10 ( 3542 )=log 10 ( 10 ⋅ 354.2 )=1+log 10 ( 354.2 )≈1+log 10 ( 354 ) 。{displaystyle /log _{10}(3542)=/log _{10}(10cdot 354.2)=1+/log _{10}(354.2)/approx 1+/log _{10}(354).\,}。

另一个关键的应用是滑动规则，一对对数分割的刻度用于计算，如图所示。

数字在滑动刻度上标出的距离与其对数之差成正比。适当地滑动上标尺相当于机械地加对数。例如，将下标尺上1到2的距离与上标尺上1到3的距离相加，得到的积是6，在下半部分读出。在20世纪70年代之前，许多工程师和科学家都使用滑尺。科学家使用滑尺比使用对数表可以更快地工作。

最近的星云和星团(可点击地图)


滑尺的示意图。从下标尺上的2开始，把距离加到上标尺上的3，达到积6。滑动规则之所以有效，是因为它的标记使1到x的距离与x的对数成正比。