Γ函数

在数学中，伽马函数(Γ(z))是阶乘函数的扩展，适用于除负整数以外的所有复数.对于正整数，它的定义是Γ ( n ) = ( n - 1 ) !对于正整数，它被定义为 Γ ( n ) = ( n - 1 ) !{displaystyle /Gamma (n)=(n-1)!} {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

伽马函数定义了所有的复数，但对负整数和零没有定义。但对于负整数和零没有定义。对于实数部分不是负整数的复数，函数的定义是：

沿实心轴部分的伽马函数。Zoom
沿实心轴部分的伽马函数。

属性

特殊值

伽马函数的一些特殊值是：

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 != 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 != 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}/Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt{pi }}&approx 2.363271801207\Gamma(-1/2)&=-2{sqrt {\pi }}&/approx -3.544907701811\Gamma(1/2)&={sqrt {\pi }}&/approx 1.772453850905\Gamma(1)&=0!&=1\Gamma(3/2)&={{tfrac {1}{2}}{{sqrt {pi }}&approx 0.88622692545\Gamma (2)&=1!&=1\Gamma (5/2)&={tfrac {3}{4}}{sqrt {pi }}&approx 1.32934038818\Gamma (3)&=2!&=2/2)&={tfrac {15}{8}}{sqrt {pi }}&approx 3.32335097045/Gamma (4)&=3!&=6/end{array}}}}。 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Pi函数

高斯提出了Pi函数。这是表示伽马函数的另一种方式。就伽马函数而言，Pi函数为

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=/Gamma (z+1)=z;\Gamma (z)=/int _{0}^{/infty }e^{-t}t^{z+1}/,{frac {{\rm {d}}t}{t}},}. {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},}

以致于

Π ( n ) = n !, {displaystyle （Pi (n)=n!} {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

对于每一个非负整数n。

应用

分析数论

伽马函数是用来研究黎曼zeta函数的。Riemann zeta函数的一个属性是它的函数式。

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 .{displaystyle {Gamma left({\frac {s}{2}}}right)/zeta (s)pi ^{-s/2}=Gamma left({\frac {1-s}{2}}right)/zeta (1-s)pi ^{-（1-s）/2}.} {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.}

Bernhard Riemann发现了这两个函数之间的关系。这是在1859年的论文"Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Grösse"("On the Number of Prime Numbers less than a given Quantity")中。

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t .{displaystyle žeta (z)\;\Gamma (z)=int _{0}^{/infty }{frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{frac {dt}{t}}.} {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.}

问题和答案

问：什么是数学中的伽马函数？
答：伽马函数是数学中特殊函数领域的一个重要课题。

问：阶乘函数对除负整数以外的所有复数的扩展是什么？
答：伽马函数是阶乘函数对除负整数以外的所有复数的扩展。

问：伽马函数对正整数是如何定义的？
答：对于正整数，伽马函数定义为Γ(n) = (n-1)!

问：伽马函数是否对所有复数都有定义？
答：是的，伽马函数对所有复数都有定义。

问：伽马函数对负整数和零有定义吗？
答：不，伽马函数没有为负整数和零定义。

问：伽马函数如何为一个实部不是负整数的复数定义？
答：伽马函数是为实部不是负整数的复数定义的，其具体公式没有在文中给出。

问：为什么伽马函数在数学上很重要？
答：伽马函数在数学中很重要，因为它是特殊函数领域的一个重要课题，它把阶乘函数扩展到除负整数以外的所有复数。

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