复数是一个数字，但与普通数字有许多不同之处。复数是用两个数组合在一起组成的。第一部分是实数。复数的第二部分是一个虚数。最重要的虚数叫做i {\displaystyle i
} ，定义为一个数字，将是-1时的平方（"平方"的意思是"乘以自己"）：i 2 = i ×i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1 }。
.所有其他虚数都是i {\displaystyle i}乘以一个实数，以同样的方式，所有的实数可以被认为是1乘以另一个数字。算术函数，如加法、减法、乘法和除法都可以用在复数上。它们和实数一样，也遵循换算、联想和分配的特性。
在试图解决其中有指数的特殊方程时，发现了复数。这些开始给数学家带来了真正的问题。作为比较，使用负数，有可能找到方程a+x=b {\displaystyle a+x=b}中的x，
对于a和b的所有实值，但如果只允许x为正数，有时不可能找到一个正的x，如方程3+x=1。
对于指数，有一个困难需要克服。没有一个实数，当它被平方时，就会得到-1。换句话说，-1（或任何其他负数）没有真正的平方根。For example, there is no real number x {displaystyle x} 
that solves ( x + 1 ) 2 = - 9 {displaystyle (x+1)^{2}=-9
} .为了解决这个问题，数学家引入了一个符号i，并把它称为一个虚数。这就是虚数，当它被平方时将给出-1。
第一个想到这一点的数学家可能是Gerolamo Cardano和Raffaele Bombelli。他们生活在16世纪。It was probably Leonhard Euler who introduced writing i {{displaystyle {mathrm {i}}.}
为该数字。
所有的复数都可以写成a+b i {displaystyle a+bi}。
(或a+b⋅i {displaystyle a+b\cdot i
})，其中a称为数的实部，b称为虚部。我们写↪Lu_211C↩ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
或Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re}。(z)}
为复数z的实部 {\displaystyle z} 
。所以，如果z = a + b i {displaystyle z=a+bi} 
，我们写出a = ↪Lu_211C↩ ( z ) = Re ( z ) {displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} 。(z)} 
.类似地，我们写↪Lu_2111↩ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
或Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im}。(z)}
为复数z的虚部 {\displaystyle z} ; b = ↪Lu_2111↩ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im}。(z)}
每一个实数也是一个复数；它是一个复数z，有↪Lu_2111↩ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0
}。
复数也可以写成一个有序的对，（a，b）。a和b都是实数。任何实数都可以简单地写成a+0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
或写成对（a，0）。
有时，j {displaystyle j}
被写成i {displaystyle i}代替。In electrical engineering, i {displaystyle i} means electric current.写i {displaystyle i}会引起很多问题，因为电气工程中的一些数字是复杂的数字。
所有复数的集合通常写成C {displaystyle \mathbb {C}。}
.
