复数 (数学)
复数是一个数字，但与普通数字有许多不同之处。复数是用两个数组合在一起组成的。第一部分是实数。复数的第二部分是一个虚数。最重要的虚数叫做i {\displaystyle i
} ，定义为一个数字，将是-1时的平方（"平方"的意思是"乘以自己"）：i 2 = i ×i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1 }。
.所有其他虚数都是i {\displaystyle i}乘以一个实数，以同样的方式，所有的实数可以被认为是1乘以另一个数字。算术函数，如加法、减法、乘法和除法都可以用在复数上。它们和实数一样，也遵循换算、联想和分配的特性。
在试图解决其中有指数的特殊方程时，发现了复数。这些开始给数学家带来了真正的问题。作为比较，使用负数，有可能找到方程a+x=b {\displaystyle a+x=b}中的x，
对于a和b的所有实值，但如果只允许x为正数，有时不可能找到一个正的x，如方程3+x=1。
对于指数，有一个困难需要克服。没有一个实数，当它被平方时，就会得到-1。换句话说，-1（或任何其他负数）没有真正的平方根。For example, there is no real number x {displaystyle x} 
that solves ( x + 1 ) 2 = - 9 {displaystyle (x+1)^{2}=-9
} .为了解决这个问题，数学家引入了一个符号i，并把它称为一个虚数。这就是虚数，当它被平方时将给出-1。
第一个想到这一点的数学家可能是Gerolamo Cardano和Raffaele Bombelli。他们生活在16世纪。It was probably Leonhard Euler who introduced writing i {{displaystyle {mathrm {i}}.}
为该数字。
所有的复数都可以写成a+b i {displaystyle a+bi}。
(或a+b⋅i {displaystyle a+b\cdot i
})，其中a称为数的实部，b称为虚部。我们写↪Lu_211C↩ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
或Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re}。(z)}
为复数z的实部 {\displaystyle z} 
。所以，如果z = a + b i {displaystyle z=a+bi} 
，我们写出a = ↪Lu_211C↩ ( z ) = Re ( z ) {displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} 。(z)} 
.类似地，我们写↪Lu_2111↩ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
或Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im}。(z)}
为复数z的虚部 {\displaystyle z} ; b = ↪Lu_2111↩ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im}。(z)}
每一个实数也是一个复数；它是一个复数z，有↪Lu_2111↩ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0
}。
复数也可以写成一个有序的对，（a，b）。a和b都是实数。任何实数都可以简单地写成a+0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
或写成对（a，0）。
有时，j {displaystyle j}
被写成i {displaystyle i}代替。In electrical engineering, i {displaystyle i} means electric current.写i {displaystyle i}会引起很多问题，因为电气工程中的一些数字是复杂的数字。
所有复数的集合通常写成C {displaystyle \mathbb {C}。}
.
对复数的运算
复数可以进行加、减、乘、除，只要除数不为零，还可以进行指数计算（将数字提高到指数）。其他一些计算也可以用复数来进行。
复数的加减法规则很简单。
让z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)}。
那么z+w=（a+b一）+（c+d一）=（a+c）+（b+d）一 {/displaystyle z+w=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）一}
。且z-w=（a+b一）-（c+d一）=（a-c）+（b-d）一 {/displaystyle z-w=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）一}
。
乘法则有些不同。
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i 。{displaystyle zcdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.} 
另一个值得注意的复数操作是共轭。一个复数共轭z¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
到z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}是a - b i {\displaystyle a-bi} 
。这是相当简单的，但重要的是计算，因为z×z¯ {\displaystyle z\times {overline {z}}
属于所有复杂z {\displaystyle z}的实数。
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}。
.
我们可以用这个来做除法。
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {bar {z}}{z{bar {z}}}}={frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) 。{displaystyle {frac {w}{z}}=w({frac {1}{z}})=(c+di)cdot\left({frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i/right)={frac {1}{a^{2}+b^{2}}}/left((cx+dy)+(dx-cy)i/right).} 
描述复数的其他形式
复数可以在所谓的复平面上显示。如果你有一个数字z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} ，你可以去实轴上的一点和虚轴上的b，并画一个矢量从( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
到( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 
。这个向量的长度可以用毕达哥拉斯定理和正实轴与这个向量之间的角度计算，逆时针方向。数z {displaystyle z}的向量的长度叫做它的模数（写成| z | {displaystyle |z|
}），角度叫做它的参数（arg z {displaystyle arg z
}）。
这导致了描述复数的三角形式：由正弦和余弦的定义，对于所有的z {\displaystyle z}代表着
z=|z|(cos arg z + i sin arg z) 。{displaystyle z=|z|(cos \arg z+i\sin \arg z).} 
这与德莫弗尔的公式密切相关。
甚至还存在另一种形式，叫做指数形式。
复数可以直观地表示为两个数，它们在Argand图上形成一个矢量，表示复数平面。
结论
在数学中加入复数后，每一个具有复数系数的多项式的根都是复数。复数的成功加入数学，也有助于开辟另一种数的创造之路，可以解决和帮助解释许多不同的问题，例如：超复数、sedenion、超实数、超现实数和许多其他数。见数字的类型。
问题和答案
问：什么是复数？答：复数是一个由两部分组成的数字，第一部分是实数，第二部分是虚数。
问：什么是最重要的虚数？
答：最重要的虚数叫i，它被定义为一个被平方后将为-1的数字。
问：算术函数是如何用于复数的？
答：算术函数，如加法、减法、乘法和除法都可以用于复数。它们也像实数一样遵循交换、关联和分配的特性。
问：什么符号代表复数的集合？
答：复数的集合通常用符号C来表示。
问：为什么会发现复数？
答：复数是在试图解决有指数的特殊方程时发现的，因为它们给数学家带来了实际问题。
问：谁介绍了这种类型的数的书写方法？
答：可能是欧拉(Leonhard Euler)介绍了用i来表示这种类型的数。
问：复数如何写成有序对？
答：一个复数可以写成一对有序数（a，b），其中a和b都是实数。
