不定积分

反微分（也叫不定积分）是数学中做的一件事。它与微分相反。

反二分法可以笼统地告诉你大小。反二分法是在方程这样的东西上进行的。反微分法给你一个叫做反衍生的东西。反微分是另一种方程。反微分就像积分，但没有极限。这就是为什么它被称为不定方程的原因。

一个反衍生的写法是这样的∫x d x {\displaystyle int x\dx}。 {\displaystyle \int x\ dx}

简单集成

要做积分x n {displaystyle ax^{n}}。 {\displaystyle ax^{n}}

  • 在幂n上加1 {displaystyle n}。n所以一个x n {\displaystyle ax^{n}}现在是{\displaystyle ax^{n}}一个x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}。 {\displaystyle ax^{n+1}}
  • 除去所有这些新的功率，所以它现在是一个x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}}。 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • 加上常数c {displaystyle c} {\displaystyle c}，所以现在是a x n + 1 n + 1 + c {displaystyle {frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} 。 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

这可以表现为：

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={frac\{ax^{n+1}}}{n+1}}+c}。 {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

当有许多x个{displaystyle xx}项时，将每个部分自行整合。

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}}x^{7}-x^{5}+c}。 {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

只有在增加或拿走零件时才会生效）。

例子

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle int 3x^{4}\ dx={frac {3x^{5}}{5}}+c}。 {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={/frac {x^{2}}}{2}}+{/frac {x^{3}}}{3}}+{/frac {x^{4}}{4}}+{/frac {x^{5}}{5}}+c}。 {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {displaystyle {frac {1}{x+4}}/dx=ln |x+4|/times 1+c=ln |x+4|+c}。 {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

把分数和根数改成幂数，这样就容易了。

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx={frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{frac {1}{2x^{2}}}+c}。 {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=intx^{frac {3}{2}}/dx={frac {x^{frac {5}{2}}}{frac {5}{2}}}+c={frac {2}{5}}}x^{frac {5}{2}}}+c={frac {2}{5}}}{sqrt {x^{5}}}+c}。 {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

整合支架("链式规则")

如果你想整合一个像 ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}这样的括号。{\displaystyle (2x+4)^{3}}，我们需要换一种方式。这就是所谓的链式规则。它就像简单的积分。只有当括号中的x {/displaystyle x}x的幂为1时才有效（它是线性的），如x {/displaystyle x}x或5 x {/displaystyle 5x}。{\displaystyle 5x}(不是x 5 {\displaystyle x^{5}{\displaystyle x^{5}}}或x - 7 {\displaystyle x^{-7}}{\displaystyle x^{-7}})。

做 ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}。 {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • 在幂3 {displaystyle 3}上加1{\displaystyle 3}，所以现在是 ( 2 x + 4 ) 4 {displaystyle (2x+4)^{4}}。 {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • 将所有这些除以新的幂，得到 ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}。 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • 将所有这些除以括号中的导数 ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}。{\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}得 ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {frac {(2x+4)^{4}}{4/times 2}}={frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}。 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • 加上常数c {displaystyle c{\displaystyle c}}，得1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {displaystyle {frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}。 {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

例子

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int(x+1)^{5}/dx={frac {(x+1)^{6}}}{6times 1}}+c={frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c/left(\because {frac {d(x+1)}{dx}}=1right)}。 {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-)9}/dx={frac {(7x+12)^{-8}}{-8times 7}}+c=-{frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c/left(因为{frac {d(7x+12)}{dx}}=7/right)}。 {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

相关网页

问题和答案

问：什么是反差异化？
答：反微分（也叫不定积分）是微积分中寻找某个函数的过程。它与微分相反，涉及到对一个函数的处理，以得到另一个函数（或一类函数），称为反微分。

问：它是如何表示的？
答：当以单个字母表示时，反导数通常采用大写罗马字母的形式，如F和G。一般来说，反导数的写法是∫f(x) dx。

问：反微分涉及什么？
答：反微分涉及对一个函数进行处理，以得到另一个函数（或一类函数），称为反微分。

问：它与积分有什么不同？
答：反微分与积分的不同之处在于它不涉及极限，这就是为什么它被称为无限期积分。

问：有哪些例子可以说明反微分的表达方式？
答：反微分的表达方式有：用单个字母表示的F和G，或用一般形式表示的∫f(x) dx。

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3