积分

在微积分中，积分是一个方程图形下的空间（有时也说是"曲线下的面积"）。积分是导数的反面，也是微积分的反面。导数是曲线的陡度（或"斜率"），作为变化率。积分"一词也可用作形容词，意思是"与整数有关"。

在微积分中，积分的符号是：∫ {\displaystyle \int _{,\ }^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ 作为一个高大的字母"S"。这个符号最早是由Gottfried Wilhelm Leibniz使用的，他把它作为一个风格化的"↪Ll_17F↩"(为summa，拉丁文为sum)，表示一个方程所覆盖的面积之和，如y=f(x)。

积分和导数是数学分支的一部分，叫做微积分。这两者之间的联系非常重要，被称为微积分基本定理。该定理说，积分可以被导数反转，就像加法可以被减法反转一样。

当试图将单位乘入一个问题时，整合会有帮助。例如，如果一个问题的速率，（距离时间） {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{text{time}}}}\right)}。 $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ ，只需要用距离来回答，一种解决方法是相对于时间进行积分。这意味着在时间上乘以取消时间在( 距离时间 )×时间 {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}}。 $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ .这是通过将速率图的小片加在一起来实现的。这些小片的宽度接近于零，但将它们永远相加，就会使它们加起来成为一个整体。这就是所谓的黎曼和。

把这些片断加在一起，就得到了第一个方程的导数。积分就像用手把许多微小的东西加在一起。它就像求和，就是把1+2+3+4....。+ n {\displaystyle 1....} $1+2+3+4....+n$ 。与积分的不同之处在于，我们还必须把所有的小数和分数加在一起。

另一个时间积分的帮助是在寻找一个实体的体积时。它可以将实体的二维（没有宽度）切片永远加在一起，直到有一个宽度。这意味着物体现在有三个维度：原来的两个维度和一个宽度。这样就得到了所述三维物体的体积。

积分就是在给定a，b和y=f(x)的情况下，找到曲面s。从a到b的积分公式，如上图所示，是:
公式： ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}. $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

什么是积分(动画)

融合方法

反衍生品

根据微积分的基本定理，积分就是反演。

如果我们取函数2 x {\displaystyle 2x}。 $2x$ 例如，将其反差化，我们可以说2 x {\displaystyle 2x $2x$ }的积分是x 2 {\displaystyle x^{2}}。 $x^{2}$ .我们说的是积分，而不是积分，因为一个函数的反导数不是唯一的。例如，x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17 $x^{2}+17$ }也可微分到2 x {\displaystyle 2x $2x$ } .正因为如此，当取反求法时，必须加上一个常数C。这就是所谓的不定积分。这是因为在求函数的导数时，常数等于0，如函数中的

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f′ ( x ) = 10 x+9+0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ 。请注意0：如果我们只有导数，就无法找到它，所以积分为

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ } .

简单方程

一个简单的方程，如y=x 2 {\displaystyle y=x^{2} $y=x^{2}$ }可以使用以下技术对x进行积分。要积分，您需要在x的幂上加1，然后用这个新幂的值除以x。因此，一个正态方程的积分遵循以下规则：∫x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}+C}。 $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

末尾的d x {displaystyle dx $dx$ }就是表明我们对x进行积分，也就是随着x的变化进行积分。这可以看成是微分的逆运算。然而，当你积分时，会增加一个常数C。这就是所谓的积分常数。这一点是必须的，因为微分一个整数的结果是零，因此积分零（可以放在任何积分的末端）会产生一个整数C。

有一个以上项的方程，只需对每个单项进行积分即可。

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle int _{\,}^{,}x^{2}+3x-2dx=int _{/\,}^{/\,}x^{2}dx+\int _{/\,}^{/\,}3xdx\-int _{/\,}^{,}2dx={/frac {x^{3}}{3}}}+{/frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}。 $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

涉及e和ln的整合

使用e和自然对数进行积分有一定的规则。最重要的是，e x {displaystyle e^{x} $e^{x}$ }是自身的积分（加上一个积分常数）：∫e x d x = e x + C {displaystyle int _{\,}^{,\e^{x}dx=e^{x}+C}。 $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

自然对数, ln, 是有用的，当集成方程与1 / x {\displaystyle 1/x $1/x$ } 。这些方程不能使用上面的公式进行积分(加一到幂，除以幂)，因为加一到幂产生0，而除以0是不可能的。取而代之的是，1/x {displaystyle 1/x}的积分 $1/x$ 是ln x {displaystyle \ln x} $\ln x$ ：∫1 x d x = ln x + C {displaystyle \int _{,}^{,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}。 $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

在一个更一般的形式中。∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=ln\ln {|f(x)|}+C}。 $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

两个竖条表示绝对值；f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) 的符号（正或负）被忽略。这是因为负数的自然对数没有值。

属性

职能之和

函数之和的积分是每个函数的积分之和.也就是说,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

这一点的证明是很直接的。积分的定义是一个极限的和。因此

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) 。{displaystyle int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=lim _{nto \infty }sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}。 $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{nto \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}。 $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n/nto \infty }/sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{nto \infty }/sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}。 $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

=∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}。 $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

请注意，两个积分都有相同的极限。

整合中的常数

当一个常数与一个函数同在一个积分中时，可以把常数取出来。另外，当一个常数c不与函数相伴时，它的值是c*x.也就是说。

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ and

这只能用一个常数来实现。

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c,dx=c(b-a)}。 $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

证明又是通过积分的定义。

其他

如果a、b、c依次排列(即在x轴上相继排列)，则f(x)从a点到b点的积分加上f(x)从b点到c点的积分等于a点到c点的积分，也就是说。

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ 如果它们是有序的。(如果我们定义∫ a b f ( x ) d x = -∫ b a f ( x ) d x {displaystyle int \\limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ )。

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0 $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ } .这遵循了微积分的基本定理（FTC）。F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}。 $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ 同样，按照FTC。F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}。 $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

问题和答案

问：什么是积分？
答：积分是方程图下的空间，也被称为 "曲线下的面积"。它是导数的反面，是微积分这一数学分支的一部分。

问：积分的符号是什么样子的？
答：微积分的符号看起来像一个高大的字母 "S"：∫ {displaystyle \textstyle int _{，}^{，}。

问：积分与导数的关系如何？
答：积分和导数是由微积分的基本定理联系在一起的，该定理指出，积分可以被导数逆转，类似于加法可以被减法逆转。

问：什么时候可以使用积分？
答：当试图将单位乘以一个问题时，或在寻找一个固体的体积时，可以使用积分。它有助于将二维的片断加在一起，直到有宽度为止，使物体有三维空间和体积。

问：积分与求和有何相似之处？
答：积分与求和相似，它把许多细小的东西加在一起，但在积分中，我们必须把所有小数和分数也加在一起。

问：黎曼和是什么意思？
答：黎曼和指的是将速率图的小片段加在一起，直到它们加起来构成一个完整的方程式。