积分

反衍生品

根据微积分的基本定理，积分就是反演。

如果我们取函数2 x {\displaystyle 2x}。例如，将其反差化，我们可以说2 x {\displaystyle 2x}的积分是x 2 {\displaystyle x^{2}}。.我们说的是积分，而不是积分，因为一个函数的反导数不是唯一的。例如，x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}也可微分到2 x {\displaystyle 2x} .正因为如此，当取反求法时，必须加上一个常数C。这就是所谓的不定积分。这是因为在求函数的导数时，常数等于0，如函数中的

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} .

f′ ( x ) = 10 x+9+0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} 。请注意0：如果我们只有导数，就无法找到它，所以积分为

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} .

简单方程

一个简单的方程，如y=x 2 {\displaystyle y=x^{2}}可以使用以下技术对x进行积分。要积分，您需要在x的幂上加1，然后用这个新幂的值除以x。因此，一个正态方程的积分遵循以下规则：∫x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}+C}。

末尾的d x {displaystyle dx}就是表明我们对x进行积分，也就是随着x的变化进行积分。这可以看成是微分的逆运算。然而，当你积分时，会增加一个常数C。这就是所谓的积分常数。这一点是必须的，因为微分一个整数的结果是零，因此积分零（可以放在任何积分的末端）会产生一个整数C。

有一个以上项的方程，只需对每个单项进行积分即可。

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle int _{\,}^{,}x^{2}+3x-2dx=int _{/\,}^{/\,}x^{2}dx+\int _{/\,}^{/\,}3xdx\-int _{/\,}^{,}2dx={/frac {x^{3}}{3}}}+{/frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}。

涉及e和ln的整合

使用e和自然对数进行积分有一定的规则。最重要的是，e x {displaystyle e^{x}}是自身的积分（加上一个积分常数）：∫e x d x = e x + C {displaystyle int _{\,}^{,\e^{x}dx=e^{x}+C}。

自然对数, ln, 是有用的，当集成方程与1 / x {\displaystyle 1/x} 。这些方程不能使用上面的公式进行积分(加一到幂，除以幂)，因为加一到幂产生0，而除以0是不可能的。取而代之的是，1/x {displaystyle 1/x}的积分是ln x {displaystyle \ln x}：∫1 x d x = ln x + C {displaystyle \int _{,}^{,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}。

在一个更一般的形式中。∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=ln\ln {|f(x)|}+C}。

两个竖条表示绝对值；f ( x ) {\displaystyle f(x)}的符号（正或负）被忽略。这是因为负数的自然对数没有值。

职能之和

函数之和的积分是每个函数的积分之和.也就是说,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} .

这一点的证明是很直接的。积分的定义是一个极限的和。因此

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) 。{displaystyle int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=lim _{nto \infty }sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}。

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{nto \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}。

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n/nto \infty }/sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{nto \infty }/sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}。

=∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}。

请注意，两个积分都有相同的极限。

整合中的常数

当一个常数与一个函数同在一个积分中时，可以把常数取出来。另外，当一个常数c不与函数相伴时，它的值是c*x.也就是说。

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} and

这只能用一个常数来实现。

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c,dx=c(b-a)}。

证明又是通过积分的定义。

其他

如果a、b、c依次排列(即在x轴上相继排列)，则f(x)从a点到b点的积分加上f(x)从b点到c点的积分等于a点到c点的积分，也就是说。

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx}如果它们是有序的。(如果我们定义∫ a b f ( x ) d x = -∫ b a f ( x ) d x {displaystyle int \\limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} )。

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} .这遵循了微积分的基本定理（FTC）。F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}。同样，按照FTC。F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}。