极惯性矩

注：不同的学科用惯性矩这个词来指代不同的力矩。在物理学中，惯性矩严格来说是指质量相对于距轴线距离的第二力矩，它表征了物体因受力矩作用而产生的角加速度。在工程（特别是机械和土木）中，惯性矩通常指的是面积的第二力矩。在读极性惯性矩时要注意确认它指的是"极性第二面积矩"而不是惯性矩。极性第二面积矩的单位是长度的四次方（例如 m 4 {\displaystyle m^{4}} 或 i n 4 {\displaystyle in^{4}} ），而惯性矩是质量乘以长度的平方（例如 k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} 或 l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}）。).

极性第二面积矩(又称"极性惯性矩")是物体抗扭能力的量度，是其形状的函数。它是通过垂直轴定理联系起来的第二面积矩的一个方面，平面第二面积矩用梁的截面形状来描述其在平行于其中性轴的平面上受力时的抗变形（弯曲）能力，极性第二面积矩用梁的截面形状来描述在垂直于梁的中性轴的平面上受力矩（扭矩）时的抗变形（扭转）能力。虽然平面第二面积矩最常见的是由字母I {\displaystyle I}表示，极性第二面积矩最常见的是由I z {\displaystyle I_{z}}表示。或字母，J {displaystyle J}。，在工程教科书中。

極值第二面積矩的計算值最常被用來描述實心或空心圓柱形軸的抗扭能力，如汽車的軸或驅動軸。當應用到非圓柱形的梁或軸，極值第二面積矩的計算會因為軸/梁的扭曲而變得錯誤。在這些情況下，應該使用一個扭轉常數，其中一個修正常數被添加到值的計算中。

面积的极值第二时刻携带的单位是长度的第四次幂（L 4 {\displaystyle L^{4}}）；米的第四次幂（m 4 {\displaystyle m^{4}}）在公制单位系统中，和英寸的第四次幂（i n 4 {\displaystyle in^{4}}）在英制单位系统中。直接计算的数学公式为形状面积的多重积分，R {\displaystyle R}。，在距离ρ {\displaystyle \rho }的任意轴O {\displaystyle O}。

J O = ν R ρ 2 d A {displaystyle J_{O}=\iint νlimits _{R}rho ^{2}dA} .

在最简单的形式中，极地的第二面积矩是两个平面的第二面积矩的总和，I x {\displaystyle I_{x}}和I y {\displaystyle I_{y}}。.利用毕达哥拉斯定理，离轴O {\displaystyle O}的距离。, ρ {displaystyle ρrho}。，可以分解为其x {\displaystyle x}和y {\displaystyle y}两个部分，以及面积的变化，d A {\displaystyle dA}。，分解为其x {displaystyle x}和y {displaystyle y}组件，d x {displaystyle dx}和d y {displaystyle dy}。

给出平面第二面积矩的两个公式。

I x = νR x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy}。而I y = νR y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=/iint \limits _{R}y^{2}dxdy}。

与极地第二时刻面积的关系可显示为：。

J O = ν R ρ 2 d A {displaystyle J_{O}=\iint νlimits _{R}rho ^{2}dA}。

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}。

J O = 潜在R x 2 d x d y + 潜在R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint limits _{R}x^{2}dxdy+\iint limits _{R}y^{2}dxdy}。

∴J=I x+I y {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}}}．

从本质上讲，随着极值第二面积矩的增大（即物体截面形状大），需要更大的扭矩才能引起物体的扭转变形。但必须注意的是，这与物体的组成材料所提供的扭转刚度没有任何关系，极值第二面积矩仅仅是物体形状所提供的刚度。由材料特性提供的扭转刚性被称为剪切模量，G {\displaystyle G}。将这两个刚性成分联系起来，可以计算出梁的扭转角，θ {\displaystyle \theta }。，使用。

θ = T l J G {displaystyle θ ={/frac {Tl}{JG}}}}}.

其中T {displaystyle T}是施加的力矩（扭矩），l {displaystyle l}是梁的长度。如图所示，较高的扭矩和梁长导致较高的角偏移，其中较高的极值为面积的第二力矩，J {displaystyle J}。和材料的剪切模量，G {\displaystyle G}。，减少了角度偏移的可能性。

问题和答案

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