康托尔的对角线论证是一种证明两个无限集具有相同心数的数学方法。康托尔在1877年、1891年和1899年发表了有关文章。他的第一个对角线论证于1890年发表在德国数学会的杂志上（Deutsche Mathematiker-Vereinigung）。根据康托尔的观点，如果可以将第二个集合的一个元素与第一个集合的每个元素联系起来，并将第一个集合的一个元素与第二个集合的每个元素联系起来，那么两个集合就具有相同的cardinality。这句话对于具有有限数量元素的集合来说很有效。对于具有无限多元素的集合来说，它就不那么直观了。
康托尔的对角线论证
康托尔的第一个对角线论证
下面的例子使用了两个最简单的无限集，即自然数集和正分数集。我们的想法是要证明这两个集合，N {displaystyle\mathbb {N}}
和 Q + {displaystyle \mathbb {Q^{+}}这两个集合都有相同的心数。}
具有相同的cardinality。
首先，分数被排列成一个数组，如下所示。
1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\\displaystyle {begin{array}{cccccccc}{tfrac {1}{1}&&{tfrac {1}{2}}&{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&&{tfrac {1}{5}}&cdots\&&&&&&&&&\{tfrac {2}{1}&&{tfrac {2}{2}}&&{tfrac {2}{3}}&{tfrac {2}{4}}&{tfrac {2}{5}}&cdots {&&&&&&&&&\{tfrac {3}{1}&&{tfrac {3}{2}}&{tfrac {3}{3}}&{tfrac {3}{4}}&{tfrac {3}{5}}&cdots {&&&&&&&&&\\{tfrac {4}{1}&&{tfrac {4}{2}&&{tfrac {4}{3}&&{tfrac {4}{4}&&{tfrac {4}{5}}&。\ocdots\&&&&&&&&&\{tfrac {5}{1}}&{tfrac {5}{2}}&{tfrac {5}{3}}&&{tfrac {5}{4}}&{tfrac {5}{5}}&&cdots {5}{5}{5}}&&cdots {5}{5}{5}{5}}&&cdots {5}{5}{5}{5}{5}}&&cdots {5}{5}{5}{5}{5}}&&cdots {5}{5}{5}{5}}&&cdots {5}{5}{5}{5}&&cdots 
接下来，如图所示，对这些数字进行计数。可以简化的分数就不做了。
1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ )3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {displaystyle {begin{array}{lclclclc}{tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{color {MidnightBlue}rightarrow }&{tfrac {1}{2}}\ _{color {Blue}(2)}&{tfrac {1}{3}\ _{color {Blue}(5)}&{color {MidnightBlue}rightarrow }&{tfrac {1}{4}} _{color {Blue}(6)}&{tfrac {1}{5}} _{color {Blue}(11)}&{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{color {MidnightBlue}rightarrow }&{color {MidnightBlue}swarrow }&{color {MidnightBlue}\nearrow }&&{color {MidnightBlue}swarrow }&{color {MidnightBlue}nearrow }&{tfrac {2}{1}}\_{color {Blue}(3)}&&{tfrac {2}{2}}\ _{color {Blue}(\cdot )}&{tfrac {2}{3}}\ _{color {Blue}(7)}&{tfrac {2}{4}}\ _{color {Blue}(\cdot)}&&{tfrac {2}{5}}&cdots {{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\nearrow }&&{color {MidnightBlue}swarrow }&{color {MidnightBlue}nearrow }&&&&\{tfrac {3}{1}\ _{color {Blue}(4)}&&{tfrac {3}{2}}\ _{color {Blue}(8)}&{tfrac {3}{3}}\ _{color {Blue}(\cdot )}&{tfrac {3}{4}}&&{tfrac {3}{5}}&cdots }&{color {MidnightBlue}\swarrow }&{color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}and{tfrac {4}{1}}\ _{color {Blue}(9)}&{tfrac {4}{2}}\ _{color {Blue}(cdot )}&{tfrac {4}{3}&&{tfrac {4}{4}}&{tfrac {4}{5}}&cdots {{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\{tfrac {5}{1}\ _{color {Blue}(10)}&{tfrac {5}{2}}&{tfrac {5}{3}&{tfrac {5}{4}&&{tfrac {5}{5}}&&cdots \\vdots &&vdots &&vdots &&vdots &end{array}}。 
这样一来，分数就被计算在内了。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 2 2 3 1 3 1 4 2 3 2 4 5 1 5 ⋯ {displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}{color {Blue}1}&{color {Blue}2}&{color {Blue}3}&{color {Blue}4}&{color {Blue}5}&{color {Blue}6}&{color {Blue}7}&{color {Blue}8}&{color {Blue}9}&{color {Blue}10}&{color {Blue}11}&{color {Blue}cdots }/[3pt]{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow}&{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow}&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{tfrac {1}{2}}&2&3&。{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}&{tfrac {2}{3}&{tfrac {3}{2}&4&5&{tfrac {1}{5}&cdots\end{array}}。 ![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}}](https://www.alegsaonline.com/image/9c2a6e438709adb23b4e1a6d6a1b63dae7378a0c.svg)
通过省略仍可简化的分数，有一种双射关系，将自然数的每个元素与分数的一个元素联系起来。
为了证明所有的自然数和分数都有相同的心数，需要添加元素0；在每个分数之后都要添加其负数。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 12 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯{displaystyle {begin{array}{cccccccccccc}{color {Blue}1}&{color {Blue}2}&{color {Blue}3}&{color {Blue}4}&{color {Blue}5}&{color {Blue}6}&{color {Blue}7}&{color {Blue}8}。{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{color {Blue}8}&{color {Blue}9}&{color {Blue}10}&{color {Blue}11}&{color {Blue}12}&{color {Blue}13}&{color {Blue}14}&{color {Blue}15}&{color {Blue}cdots }\[3pt]{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow}&{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow}&{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color{MidnightBlue}\downarrow{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow }&{color {MidnightBlue}\downarrow {[3pt]0&1&1&{tfrac {1}{2}}&-{tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{tfrac {1}{3}&-{tfrac {1}{3}&{tfrac {1}{4}&-{tfrac {1}{4}&{tfrac {2}{3}&-{tfrac {2}{3}&cdots {end{array}}。 ![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}}](https://www.alegsaonline.com/image/6ddf816b26bea41e615eef0122806a5b05313173.svg)
这样一来，就有了一个完整的双射，它将一个分数与每个自然数联系起来。换句话说：两个集合都有相同的cardinality。今天，比自然数集拥有相同数量元素的集合被称为可数。元素少于自然数的集合被称为至多可数。根据这个定义，有理数/分数的集合是可数的。
实数
实数的集合与自然数的集合不具有相同的cardinality；实数比自然数多。上面概述的想法影响了他的证明。在1891年的文章中，康托尔考虑了所有二进制数字的无限序列的集合T（即每个数字都是0或1）。
他首先对以下定理进行了建设性的证明。
如果s1 ，s2 ，...，sn ，...是T中任何元素的枚举，那么T中总有一个元素s对应于枚举中没有sn 。
为了证明这一点，给定一个来自T的元素枚举，比如说
| s1 = | (0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | ...) |
| s2 = | (1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | ...) |
| s3 = | (0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | ...) |
| s4 = | (1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | ...) |
| s5 = | (1, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) |
| s6 = | (0, | 0, | 1, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) |
| s7 = | (1, | 0, | 0, | 0, | 1, | 0, | 0, | ...) |
| ... |
序列s是通过选择第1位数字作为s1 的第1位数字的补充（将0换成1，反之亦然），第2位数字作为s2 的第2位数字的补充，第3位数字作为s3 的第3位数字的补充，一般对于每个n，nth 的数字作为sn 的nth 的补充。在这个例子中，这得到了。
| s1 | (0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | ...) | |
| s2 | (1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | ...) | |
| s3 | (0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | ...) | |
| s4 | (1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | ...) | |
| s5 | (1, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) | |
| s6 | (0, | 0, | 1, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) | |
| s7 | (1, | 0, | 0, | 0, | 1, | 0, | 0, | ...) | |
| ... | |||||||||
| s | (1, | 0, | 1, | 1, | 1, | 0, | 1, | ...) |
根据结构，s与每个sn ，因为它们的nth 位数不同（在例子中强调）。因此，s不能出现在列举中。
基于这个定理，康托尔接着用矛盾证明法来证明：。
集合T是不可数的。
他假设T是可数的，以避免矛盾。在这种情况下，它的所有元素可以写成一个枚举s1 , s2 , ... , sn , ... 。将前面的定理应用于这个枚举，会产生一个不属于该枚举的序列s。然而，s是T的一个元素，因此应该在枚举中。这与原来的假设相矛盾，所以T必须是不可数的。
问题和答案
问：什么是康托对角线论证？
答：康托尔对角线论证是证明两个无限集具有相同心数的数学方法。
问： 康托尔何时发表关于对角线论证的文章？
答：康托尔分别于 1877 年、1891 年和 1899 年发表了关于对角线论证的文章。
问：康托尔关于对角线论证的第一个证明是在哪里发表的？
答：康托尔关于对角线论证的第一个证明发表在1890年的德国数学协会（Deutsche Mathematiker-Vereinigung）杂志上。
问：康托尔认为，什么时候两个集合具有相同的心数？
答：康托尔认为，如果可以把第二个集合中的一个元素与第一个集合中的每个元素联系起来，并且可以把第一个集合中的一个元素与第二个集合中的每个元素联系起来，那么这两个集合就具有相同的万有引力。
问：康托尔关于万有引力的说法是否适用于元素数目有限的集合？
答：是的，康托尔的说法对元素个数有限的集合很有效。
问：康托尔关于万有性的说法对元素个数无限的集合直观吗？
答：不，康托尔关于万有性的说法对于元素数为无限的集合不那么直观。
问：康托尔就他的对角线论证发表过多少次文章？
答：康托尔在 1877 年、1891 年和 1899 年三次发表关于对角线论证的文章。