双射函数

基本属性

正式的。

f :A → B {displaystyle f:A\rightarrow B} 是一个双射函数，如果∀ b∈B {displaystyle \forall b\in B} 有一个唯一的a∈A {displaystyle a\in A} 这样f ( a ) = b 。{displaystyle f(a)=b\,.}

元素b {displaystyle b} 被称为元素a {displaystyle a} 的图像。

• 形式上的定义意味着。码域B的每个元素都是码域A中一个元素的图像。

元素a {displaystyle a} 被称为元素b {displaystyle b} 的前像。

• 形式上的定义是指。码域B的每个元素在码域A中正好有一个前像。

注：注射是指最少一个预图像。注射意味着最多有一个预图像。因此，双射意味着正好有一个预图像。

编码范围

心数是指一个集合中元素的数量。A={X,Y,Z,W}的cardinality是4，我们写#A=4。

• 定义。如果两个集合A和B之间存在双射关系，则这两个集合具有相同的cardinality。所以#A=#B意味着从A到B有一个双射。

双投和反函数

• 通过颠倒箭头，双投是可以倒置的。新的函数被称为反函数。

从形式上看。假设f : A → B是一个双投影。反函数g : B → A的定义是：如果f(a)=b，则g(b)=a。(参见反函数)。

• 反函数的反函数就是原函数。
• 一个函数有一个反函数，当且仅当它是一个双投影。

注意：f的反函数的符号是令人困惑的。即：。

  f - 1 ( x ) {displaystyle f^{-1}(x)} 表示函数f的反函数，但x - 1 = 1 x {displaystyle x^{-1}={frac {1}{x}} 表示数字x的倒数。

例子

基本功能

让f(x):ℝ→ℝ是一个实值参数x的实值函数y=f(x)（这意味着输入和输出都是数字）。

• 图形意义。如果每条水平线正好与f的图形相交于一点，那么函数f就是一个双射。
• 代数意义。如果对于每一个实数y_o ，我们可以找到至少一个实数x_o ，使y_o =f(x_o )，如果f(x_o )=f(x₁ )意味着x_o =x₁ ，则函数f是一种双射。

例子。斜线的线性函数是一种双射。也就是说，y=ax+b，其中a≠0是一个双投影。

讨论。每条水平线与斜线的相交点正好是一个点（证明见抛射和注入）。图片1.

例子。三度的多项式函数：f(x)=x³ 是一种双射。图像2和图像5为黄色细曲线。它的逆函数是立方根函数f(x)=∛x，它也是一个双投影f(x)：ℝ→ℝ。图片5：粗的绿色曲线。

例子。二次函数f(x)=x² 不是双射（从ℝ→ℝ）。图片3.它不是一个抛射。它不是一个注入。然而，我们可以把它的域和码域都限制在非负数的集合（0,+∞），从而得到一个（可逆的）双射（见下面的例子）。

• 该领域
• 功能机
• 法域

例子。假设我们的函数机是f(x)=x²。

• 这个机器和domain=ℝ和codomain=ℝ不是一个surjection，也不是一个注入。然而。
• 这台机器和域=[0,+∞]和码域=[0,+∞]既是一个抛射也是一个注入，因此是一个双射。

双射和它们的逆反者

设f(x):A→B，其中A和B是ℝ的子集。

• 假设f不是一个双射。对于f的导数存在且不为零的任何x，有一个x的邻域，我们可以将f的域和码域限制为一个二切。
• 反函数的图形相对于直线y=x来说是对称的。(参见反函数。)

例子。定义在限制域和编码域[0,+∞]上的二次函数

f ( x ) : [ 0 , + ∞ )→ [ 0 , + ∞ ){displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,[0,+\infty )} ，定义为f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}}.

是一种双射。图片6：细的黄色曲线。

例子。定义在限制域和编码域[0,+∞]上的平方根函数

f ( x ) : [ 0 , + ∞ )→ [ 0 , + ∞ ){displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,,[0,+\infty )} defined by f ( x ) = x {displaystyle f(x)={sqrt {x}}.

是定义为二次函数的反函数的双射：x² 。 图片6：厚的绿色曲线。

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,(0,+infty )} 定义为 f ( x ) = a x , a > 1 {displaystyle f(x)=a^{x}\,,\, a >1}

是一种双射。图片4：黄色细曲线（a=10）。

例子。对数函数基数a定义在限制域(0,+∞)和编码域ℝ。

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {displaystyle f(x):(0,+infty )\,\,\rightarrow\,\,\mathbf {R} } 定义为 f ( x ) = log a x , a > 1 {displaystyle f(x)=\log _{a}x\,, \, a > 1}

是定义为指数函数的反函数的双射：a^x 。 图片4：厚的绿色曲线（a=10）。

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