四维凸正多胞体

在数学中，凸正四边形（或多角形）是四维（4D）多角形，它既是规则的又是凸的。这些是柏拉图实体（三维）和正多边形（二维）的四维类似物。

这些多边形是由瑞士数学家路德维希-施莱弗利在19世纪中期首次描述的。施莱弗里发现，这样的图形正好有六个。其中五个可以被认为是柏拉图实体的高维类似物。还有一个图形（24单元）没有三维的对应物。

每个凸形正则四聚体都被一组3维单元所包围，这些单元都是相同类型和大小的柏拉图实体。这些单元沿着各自的面以规则的方式组合在一起。

属性

下表列出了六种凸型规则多角体的一些特性。这些多面体的对称群都是考克塞特群，并以该文章中描述的符号给出。组名后面的数字是该组的阶数。

名称	家庭	施莱弗里符号	纬度	边缘	脸部	细胞	顶点数字	双重多角形	对称组
五角星 -细胞- 五角星- 金字塔- 四面体 -复数	单数 (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 三角形	5 四面体	四面体	(自相矛盾)	A₄	120
魔方八角形的 8个立方体的 4个立方体	超立方体 (n-cube)	{4,3,3}	16	32	24 方位	8 立方体	四面体	16个单元	B₄	384
十六面体 -16- 正四面体 -4-正八面体	交叉多面体 (正方形)	{3,3,4}	8	24	32 三角形	16 四面体	八面体	宇宙魔方	B₄	384
铬酸铝 24- 大提琴八面体		{3,4,3}	24	96	96 三角形	24 八面体	立方体	(自相矛盾)	F₄	1152
蜕变的萨科隆 120细胞十二面体超十二面体多十二面体		{5,3,3}	600	1200	720 五角星	120 十二面体	四面体	600-细胞	H₄	14400
Hexacosichoron600- celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron		{3,3,5}	120	720	1200 三角形	600四面体	二十面体	120细胞	H₄	14400

由于这些图形的边界在拓扑上等同于一个3球，其欧拉特征为零，我们有欧拉多面体公式的4维类似物。

N 0- N +1 N 2- N = {30displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0,}。 $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

其中N_k表示多角形中k面的数量（一个顶点是一个0面，一条边是一个1面，等等）。

可视化

下表显示了这些多面体的一些二维投影。其他各种可视化的数据可以在下面的其他网站中找到。Coxeter-Dynkin图的图形也在Schläfli符号下面给出。

5-细胞	8-细胞	16个单元	24细胞	120细胞	600-细胞
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

彼得里多边形内的线框正射投影。

实体正字法投影
四面体信封 (单元格/顶点为中心)	立体包络(以细胞为中心)	八面体信封 (顶点居中)	立方八面体包络体（以细胞为中心）	截断的菱形三面体信封（以细胞为中心）。	五角大楼的十二面体信封（顶点中心）。
线框Schlegel图（透视投影）。
(以细胞为中心)	(以细胞为中心)	(以细胞为中心)	(以细胞为中心)	(以细胞为中心)	(以顶点为中心)
线框立体投影（超球体）。

问题和答案

问：什么是凸正四聚体？
答：凸正规四边形是一种既正规又凸的四维多角形。

问：在三维和二维中，凸正则四边形多面体的类似物是什么？
答：凸形正则四边形在三维空间中的类似物是柏拉图实体，而在二维空间中，它们是正则多边形。

问：谁首先描述了凸正四边形？
答：瑞士数学家路德维希-施莱弗里在19世纪中叶首次描述了凸正四边形。

问：有多少个凸形正则4-多面体？
答：恰好有六个凸正4-多面体。

问：在凸式正则四面体中，24细胞多面体的独特之处在于什么？
答：在凸式正则四面体中，24细胞多面体没有三维等价物。

问：与每个凸正则4元多面体相联系的3维单元是什么？
答：每个凸正四边形多面体都被一组三维单元所约束，这些单元都是类型和大小相同的柏拉图实体。

问：凸正四聚体中的3维单元是如何组合的？
答：在凸正四聚体中，三维单元是沿着各自的面有规律地组合在一起的。

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