圆柱体

在通常情况下，圆柱体被认为是指一个直角圆筒的有限截面，即生成线垂直于底面的圆柱体，其两端封闭形成两个圆面，如图（右）所示。如果圆柱体的半径为r，长度（高度）为h，那么它的体积由以下公式给出。

V = π²rh

而其表面积为。

• 顶端的面积(πr²) +
• 底部的面积（πr²）+
• 边的面积（2πrh）。

因此，如果没有顶部或底部（横向面积），表面积为。

A=2πrh。

有了顶部和底部，表面积是。

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)。

在一定体积下，表面积最小的圆柱体的h=2r。对于给定的表面积，体积最大的圆柱体的h=2r，即圆柱体适合放在一个立方体中（高度=直径）。

有一个高度为h单位的直角圆筒，半径为r单位的底面，坐标轴选择为原点在一个底面的中心，高度沿正x轴测量。与原点相距x个单位的平面部分的面积为A(x)个平方单位，其中

A ( x ) = π r {2displaystyle A(x)=\pi r^{2}}.

或

A ( y ) = π r {2displaystyle A(y)=\pi r^{2}}。

一个体积的元素，是一个底面积为Aw_i平方单位，厚度为Δ_ix单位的右圆柱体。因此，如果V立方单位是右圆筒的体积，通过黎曼求和。

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | Δ → |0 ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =lim _{||\Delta\to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}。

= ∫ h0 A ( y ) d2 y {\displaystyle =int _{0}^{h}A(y)^{2},dy }

= ∫ h0 π r d2 y {displaystyle =int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

=π r h {\2displaystyle =pi\,r^{2}\,h\, }

使用圆柱坐标，体积可以通过对以下部分的积分来计算

= ∫ h0 ∫ π02 ∫ r0 s d s d ϕ d z {\displaystyle =int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,ds\,dphi \,dz }

=π r h {\2displaystyle =pi\,r^{2}\,h\, }

圆柱体截面是指圆柱体与平面的交点。对于一个直圆的圆柱体，有四种可能性。一个与圆柱体相切的平面，与圆柱体相交于一条直线。在平行于自己的情况下移动，该平面要么不与圆柱体相交，要么以两条平行线相交。所有其他平面与圆柱体相交为一个椭圆，或者当它们垂直于圆柱体的轴线时，相交为一个圆。

椭圆体，或称圆柱体，是一个四边形曲面，在直角坐标中具有以下方程。

( x a ) +2 ( y b ) =21. {\displaystyle\left({frac {x}{a}}}right)^{2}+\left({frac {y}{b}}}right)^{2}=1.}。

这个方程是针对椭圆筒的，是普通圆筒（a=b）的泛化。更普遍的是广义圆柱体：横截面可以是任何曲线。

该圆柱体是一个退化的四边形，因为至少有一个坐标（在这里是z）没有出现在方程中。

一个倾斜的圆柱体，其顶部和底部的表面相互位移。

还有其他更不寻常的圆柱体类型。这些是假想的椭圆体。

( x a ) +2 ( y b ) = 2- {\1displaystyle\left({frac {x}{a}}}right)^{2}+\left({frac {y}{b}}}right)^{2}=-1}。

双曲圆柱体。

( x a )2 - ( y b ) = {\21displaystyle\left({frac {x}{a}}}right)^{2}-\left({y}{b}}\right)^{2}=1}。

和抛物线圆柱体。

x +2 a 2y =0. {displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}。

在投影几何学中，圆柱体只是一个顶点在无限远处的圆锥体。

这在定义退化圆锥体时很有用，这需要考虑圆柱圆锥体。