行列式

有几种方法可以理解行列式对矩阵的说明。

几何解释

一个n×n {displaystyle n/times n}矩阵可以被看作是描述一个线性地图在n {displaystyle n}维度。在这种情况下，行列式告诉你这个矩阵缩放（增长或缩小）n {displaystyle n}维空间区域的系数。

例如，一个2×2 {\displaystyle 2\times 2}矩阵A {\displaystyle A}。将二维空间中的一个正方形转化为平行四边形。该平行四边形的面积将是det ( A ) {\displaystyle \det(A)}倍于正方形面积的大。

同样地，一个3×3 {displaystyle 3\times 3}矩阵B {displaystyle B} ，被看作是一个线性图，将把三维空间中的一个立方体变成一个平行管道。该平行管道的体积将是立方体体积的det ( B ) {displaystyle {det(B)}倍。

确定因素可以是负数。线性图可以拉伸和缩放一个体积，但它也可以在轴上反射。每当这种情况发生时，行列式的符号就会从正数变为负数，或者从负数变为正数。负的行列式意味着体积在奇数轴上被反射。

"方程系统"的解释

你可以把矩阵看作是描述一个线性方程系统。当行列式不为0时，这个系统有一个唯一的非平凡解。(非平凡意味着解不仅仅是所有的零。)

如果行列式为零，那么要么没有唯一的非平凡的解，要么有无限多的解。

当行列式不为0时，一个矩阵正好有一个逆矩阵。因此，决定数为非零的矩阵称为可逆矩阵。如果行列式为0，则该矩阵称为非可逆矩阵或奇异矩阵。

在几何学上，你可以把奇异矩阵看成是把平行四边形"压扁"成平行四边形，或者把平行四边形压成一条线。那么体积或面积为0，就没有线性图能让旧的形状恢复。

有几种计算确定因素的方法。

小矩阵的公式

• 对于1×1 {displaystyle 1/times 1}和2×2 {displaystyle 2/times 2}矩阵，你可以记住公式。

det [ a ] = a ， det [ a b c d ] = a d - b c 。{displaystyle {det {begin{bmatrix}a/end{bmatrix}}=a,qquad {det {begin{bmatrix}a&b/c&dend{bmatrix}}=ad-bc.}

• 对于3×3 {displaystyle 3/times 3}矩阵，公式为：

det [a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&。b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

你可以使用Sarrus规则（见图）来记住这个公式。

辅因子扩展

对于较大的矩阵，行列式比较难计算。有一种方法叫做共因子展开。

假设我们有一个n×n {\displaystyle n\times n}矩阵A {\displaystyle A} 。首先，我们选择矩阵中的任何一行或一列。对于该行或该列中的每个数字 a i j {displaystyle a_{ij}}，我们计算一些叫做它的协因子 C i j {displaystyle C_{ij}}的东西。那么 det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} 。.

要计算这样的共因子C i j {\displaystyle C_{ij}}。, 我们从矩阵A{displaystyle A}中删除第i行{displaystyle i}和第j列{displaystyle j}。这样我们就得到了一个较小的 ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)}矩阵。我们称它为M {\displaystyle M} 。共因子 C i j {\displaystyle C_{ij}} 则等于 ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} 。

这里是一个3×3 {\displaystyle 3\times 3}矩阵左列的共因子展开的例子。

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) ) 。+ ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ])+ ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) 。+ 0 = − 11.{displaystyle {begin{aligned}/det {begin{bmatrix}{color{red}1}&3&2{color{red}2}&1&1{color{red}0}&3&4end{bmatrix}}&。={color {red}1}cdot C_{11}+{color {red}2}cdot C_{21}+{color {red}0}cdot C_{31}\\&=\left({color {red}1}cdot (-1)^{1+1}\det {begin{bmatrix}1&1\3&m4end{bmatrix}}right)+/left({color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}det {begin{bmatrix}3&2/3&4end{bmatrix}}right)+/left({color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}det {begin{bmatrix}3&a2/1&1end{bmatrix}}right)\\&=({color {red}1}cdot 1/cdot 1)+({color {red}2}cdot (-1)cdot 6)+{color {red}0}\&=-11.\nd{aligned}}}

正如您在这里看到的，我们可以通过选择有许多零的行或列来节省工作。如果a i j {\displaystyle a_{ij}}为0，我们就不需要计算C i j {\displaystyle C_{ij}}。.

• 容量