平行六面体

几何学中,平行四边形是一个由六个平行四边形组成的三维图形(术语斜方体有时也被用于这个含义)。通过类比,它与平行四边形的关系就像立方体与正方形的关系或长方体与矩形的关系一样。在欧几里得几何学中,它的定义包含了所有四个概念(即平行四边形平行四边形立方体正方形)。在仿生几何的背景下,角是不分的,它的定义只接受平行四边形平行四边形平行四边形的三个等价定义是

  • 一个有六个面的多面体六面体),每个面都是一个平行四边形。
  • 一个有三对平行面的六面体,和
  • 底部为平行四边形棱柱

长方体(六个长方形面)、正方体(六个正方形面)和斜方体(六个菱形面)都是平行四边形的特殊情况。

属性

这三对平行面中的任何一对都可以被看作是棱柱的底面。一个平行四边形有三组四条平行边;每组内的边都是等长的。

平行四边形是由立方体的线性变换产生的(对于非退行的情况:双射的线性变换)。

由于每个面都具有点对称性,所以平行四边形是一个二面体。同时,整个平行四边形具有点对称性Ci(也见三棱柱)。从外面看,每个面都是对面面的镜像。一般来说,这些面是手性的,但平行四边形不是。

任何平行四边形的全等副本都有可能形成空间填充的镶嵌法。

一个平行四边形的体积是其底面积A与高h的乘积。底是平行四边形六个面中的任何一个。高度是指底面与对面面之间的垂直距离。

另一种方法是定义向量a=(a1a2a3),b=(b1b2b3)和c=(c1c2c3)来代表在一个顶点相遇的三条边。那么平行四边形的体积就等于标量三乘积a-(b×c)的绝对值。

V = | a ( b × c ) | = | b ( c × a ) | = | c ( a × b ) | {displaystyle V=\left|\mathbf {a} cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c) \right|=\left|\mathbf {b)\జజజజజజజజజజజజజజ\CDOT (\mathbf {a}\times \mathbf {b})\right|=left|=mathbf {c}}。 {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

这是真的,因为如果我们选择bc来代表基地的边缘,根据交叉积的定义,基地的面积就是(见交叉积的几何意义)。

A = | b | | c | sin θ = | b × c | ,{\displaystyle A=\left|\mathbf {b}}。\Right|left|mathbf {c}(右)。\Right\|sin theta =left|mathbf {b} (右)。\times\mathbf {c}\right|,} {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

其中θbc之间的角度,而高度是

h = | a | cos α , {displaystyle h=\left|\mathbf {a} `right|cos `alpha , } {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

其中αah之间的内角。

从图中我们可以推断出,α的大小被限制在0°≤α<90°。相反,矢量b×c可能与a形成大于90°的内角β(0°≤β≤180°)。也就是说,由于b×c平行于hβ的值是β=αβ=180°-α

cos α = ± cos β = | cos β | ,{displaystyle cos `alpha =pm `cos `beta =left|cos `beta `right|,}。 {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

h = | a | | cos β | 。{displaystyle h=left|\mathbf {a}\right|\left|cos β \right|。} {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|.}

我们的结论是

V = A h = | a | b × c | cos β | ,{displaystyle V=Ah==left|\mathbf {a}\right|\left|\mathbf {b}}。\times\mathbf {c}\Right\left\cos \beta \right|,} {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

根据标量(或点)积的定义,相当于a-(b×c)的绝对值,Q.E.D。

后者也相当于用abc作为行(或列)建立的三维矩阵行列式的绝对值。

V = | det [ a a 12b3 b 1b 2c3 c 12] 3| 。{\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.} {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}

这是用克拉默法则对从原始数据中找到的三个缩小的二维矩阵进行计算得出的。

如果abc是平行四边形的边长,α、β、γ是边上的内角,体积为

V = a b c +1 cos 2( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos ( 2α ) - cos ( 2β ) - cos ( 2γ ) 。{displaystyle V=abc{sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-cos ^{2}(\alpha )-cos ^{2}(\beta )-cos ^{2}(\gamma )\,}。} {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.}

相应的四面体

任何与平行四边形有三条交汇边的四面体,其体积都等于该平行四边形体积的六分之一(见证明)。

定义平行四边形的矢量。Zoom
定义平行四边形的矢量。

特殊情况

对于具有对称面的平行四边形,有两种情况。

  • 它有四个长方形的面
  • 它有两个菱形面,而其他面中,相邻的两个面是相等的,另外两个也是(这两对面是彼此的镜像)。

另见单斜体。

矩形长方体,也叫矩形平行四边形,有时干脆叫长方体,是一种平行四边形,其所有面都是矩形的;立方体是一种有方形面的长方体。

菱形面是具有所有菱形面的平行四边形;三棱梯形是具有全等菱形面的菱形。

矩形平行四边形Zoom
矩形平行四边形

完美的平行四边形

一个完美的平行四边形是一个具有整数长度的边、面对角线和空间对角线的平行四边形。2009年,几十个完美平行四边形被证明是存在的,回答了理查德-盖伊的一个公开问题。其中一个例子有边271、106和103,小面对角线101、266和255,大面对角线183、312和323,以及空间对角线374、300、278和272。

一些具有两个矩形面的完美平行四边形是已知的。但不知道是否存在所有面都是矩形的情况;这种情况将被称为完美立方体。

平行线

Coxeter把平行四边形在更高维度上的泛化称为平行四边形

特别是在n维空间中,它被称为n维平行四边形,或者简单地称为n-平行四边形。因此,一个平行四边形是一个2-平行四边形,一个平行四边形是一个3-平行四边形。

更一般地说,一个平行四面体,或Voronoi平行四面体,具有平行和全等的对立面。因此,2-平行四边形是一个平行四边形,也可以包括某些六边形,而3-平行四边形是一个平行四面体,包括5种多面体。

一个n个平行四边形的对角线相交于一点,并以这一点为分界线。在这一点上的反转使n个平行四边形保持不变。另见欧几里得空间中等距组的固定点。

从一个k-parallelotope的一个顶点辐射出来的边缘形成了一个k-frame ( v ,1 ... , v n ) {displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}的向量空间,并且parallelotope可以从这些向量中恢复出来,通过对向量进行线性组合,权重在0和1之间。

嵌入R m {displaystyle `mathbb {R} ^{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}{m}中的n个平行斜面的n个体积,其中m≥n {displaystyle m\geq n}{\displaystyle m\geq n}可以通过格拉姆行列式计算。或者,体积是矢量的外积的规范。

V = ‖ v 1 v n ‖ 。{displaystyle V=left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right|。} {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}

如果m=n,这相当于n个向量的行列式的绝对值。

另一个公式是计算R n中的n个平行斜面P的体积 {displaystyle `mathbb {R} ^{n}} ,其n+1个顶点为V , V , ... , V n {displaystyle V_{0},V_{1},`ldots ,V_{n}}} 。{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}n+1个顶点为V ,0 V ,1 ..., V n {displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}},计算公式为{\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}},是

V o l ( P ) = | d e t ( [ V ] 01T , [ V ] 11T , ... , [ V n ] 1T ) |, {displaystyle {rm {Vol}(P)=|{rm {det}} ([V_{0}\ 1]^{rm {T}, [V_{1}\ 1]^{rm {T},\ldots , [V_{n}\ 1]^{rm {T}) |, } {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

其中[ V i ]1 {displaystyle [V_{i}\ 1]}{\displaystyle [V_{i}\ 1]}是由V i {displaystyle V_{i}}{\displaystyle V_{i}}和1连接而成的行向量。实际上,如果从[ V ] {01displaystyle [V_{0}\ 1]}{\displaystyle [V_{0}\ 1]}中减去[ V i ] 1{displaystyle [V_{i}\ 1]},决定式是不变的。{\displaystyle [V_{i}\ 1]}(i > 0),而将[ V ]01 {displaystyle [V_{0}\ 1]}{\displaystyle [V_{0}\ 1]}放在最后一个位置只是改变其符号。

同样地,任何与平行四边形共享n条收敛边的n次方体,其体积都等于该平行四边形体积的1/n!。

词汇学

这个词在亨利-比林斯利爵士1570年翻译的《欧几里德元素》中以平行ipipedon出现。在1644年版的Cursus mathematicus中,Pierre Hérigone使用的是parallelepipedum的拼写牛津英语词典》引用今天的parallelepiped首次出现在Walter Charleton的Chorea gigantum(1663)中。

Charles Hutton's Dictionary (1795)显示了parallelopipedparallelopipedon,显示了组合形式parallelo-的影响,仿佛第二个元素是pipedon而不是epipedon。诺亚-韦伯斯特(1806)包括拼写parallelopiped。1989年版的《牛津英语词典》parallelopiped(和parallelipiped)明确描述为不正确的形式,但在2004年版中,这些都被列出,没有评论,只给出了强调第五音节pi/paɪ/)的读音。

摆脱传统的发音,隐藏了希腊词根所暗示的不同分区,epi-("上")和pedon("地")结合在一起,产生了epiped,一个平坦的 "平面"。因此,一个平行四边形的面是平面的,相对的面是平行的。

问题和答案

问:什么是平行四边形?
答:平行四边形是一个由六个平行四边形组成的三维图形。

问:有时还用什么词来指代平行四边形?
答:"斜方体 "一词有时也与 "平行四边形 "具有相同的含义。

问:平行四边形与平行四边形有什么关系?
答:平行四边形与平行四边形的关系,就像立方体与正方形或长方体与长方形的关系一样。

问:在欧几里德几何学中,平行四边形的定义是否包括所有四个相关的概念?
答:是的,在欧几里得几何学中,平行四边形的定义包括了所有四个相关的概念:平行四边形、平行四边形、立方体和正方形。

问:什么是仿生几何的背景?
答:仿生几何的背景是一个不分角的背景。

问:在仿生几何的背景下,平行四边形的定义中包括哪些图形?
答:在仿生几何中,平行四边形的定义只包括平行四边形和平行四边形。

问:平行四边形的三个等价定义是什么?
答:平行四边形的三个等价定义是:有六个面的多面体,每个面都是平行四边形;有三对平行面的六面体;以及底面是平行四边形的棱柱。

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