平行六面体

这三对平行面中的任何一对都可以被看作是棱柱的底面。一个平行四边形有三组四条平行边；每组内的边都是等长的。

平行四边形是由立方体的线性变换产生的（对于非退行的情况：双射的线性变换）。

由于每个面都具有点对称性，所以平行四边形是一个二面体。同时，整个平行四边形具有点对称性C_i（也见三棱柱）。从外面看，每个面都是对面面的镜像。一般来说，这些面是手性的，但平行四边形不是。

任何平行四边形的全等副本都有可能形成空间填充的镶嵌法。

一个平行四边形的体积是其底面积A与高h的乘积。底是平行四边形六个面中的任何一个。高度是指底面与对面面之间的垂直距离。

另一种方法是定义向量a=（a₁，a₂，a₃），b=（b₁，b₂，b₃）和c=（c₁，c₂，c₃）来代表在一个顶点相遇的三条边。那么平行四边形的体积就等于标量三乘积a-（b×c）的绝对值。

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {displaystyle V=\left|\mathbf {a} cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c) \right|=\left|\mathbf {b)\జజజజజజజజజజజజజజ\CDOT (\mathbf {a}\times \mathbf {b})\right|=left|=mathbf {c}}。

这是真的，因为如果我们选择b和c来代表基地的边缘，根据交叉积的定义，基地的面积就是（见交叉积的几何意义）。

A = | b | | c | sin θ = | b × c | ，{\displaystyle A=\left|\mathbf {b}}。\Right|left|mathbf {c}（右）。\Right\|sin theta =left|mathbf {b} （右）。\times\mathbf {c}\right|,}

其中θ是b和c之间的角度，而高度是

h = | a | cos α , {displaystyle h=\left|\mathbf {a} `right|cos `alpha , }

其中α是a和h之间的内角。

从图中我们可以推断出，α的大小被限制在0°≤α<90°。相反，矢量b×c可能与a形成大于90°的内角β（0°≤β≤180°）。也就是说，由于b×c平行于h，β的值是β=α或β=180°-α。

cos α = ± cos β = | cos β | ，{displaystyle cos `alpha =pm `cos `beta =left|cos `beta `right|,}。

和

h = | a | | cos β | 。{displaystyle h=left|\mathbf {a}\right|\left|cos β \right|。}

我们的结论是

V = A h = | a | b × c | cos β | ，{displaystyle V=Ah==left|\mathbf {a}\right|\left|\mathbf {b}}。\times\mathbf {c}\Right\left\cos \beta \right|,}

根据标量（或点）积的定义，相当于a-（b×c）的绝对值，Q.E.D。

后者也相当于用a、b和c作为行（或列）建立的三维矩阵行列式的绝对值。

V = | det [ a a 12b3 b 1b 2c3 c 12] 3| 。{\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}

这是用克拉默法则对从原始数据中找到的三个缩小的二维矩阵进行计算得出的。

如果a、b、c是平行四边形的边长，α、β、γ是边上的内角，体积为

V = a b c +1 cos 2( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos ( 2α ) - cos ( 2β ) - cos ( 2γ ) 。{displaystyle V=abc{sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-cos ^{2}(\alpha )-cos ^{2}(\beta )-cos ^{2}(\gamma )\,}。}

相应的四面体

任何与平行四边形有三条交汇边的四面体，其体积都等于该平行四边形体积的六分之一（见证明）。

对于具有对称面的平行四边形，有两种情况。

• 它有四个长方形的面
• 它有两个菱形面，而其他面中，相邻的两个面是相等的，另外两个也是（这两对面是彼此的镜像）。

另见单斜体。

矩形长方体，也叫矩形平行四边形，有时干脆叫长方体，是一种平行四边形，其所有面都是矩形的；立方体是一种有方形面的长方体。

菱形面是具有所有菱形面的平行四边形；三棱梯形是具有全等菱形面的菱形。

一个完美的平行四边形是一个具有整数长度的边、面对角线和空间对角线的平行四边形。2009年，几十个完美平行四边形被证明是存在的，回答了理查德-盖伊的一个公开问题。其中一个例子有边271、106和103，小面对角线101、266和255，大面对角线183、312和323，以及空间对角线374、300、278和272。

一些具有两个矩形面的完美平行四边形是已知的。但不知道是否存在所有面都是矩形的情况；这种情况将被称为完美立方体。

Coxeter把平行四边形在更高维度上的泛化称为平行四边形。

特别是在n维空间中，它被称为n维平行四边形，或者简单地称为n-平行四边形。因此，一个平行四边形是一个2-平行四边形，一个平行四边形是一个3-平行四边形。

更一般地说，一个平行四面体，或Voronoi平行四面体，具有平行和全等的对立面。因此，2-平行四边形是一个平行四边形，也可以包括某些六边形，而3-平行四边形是一个平行四面体，包括5种多面体。

一个n个平行四边形的对角线相交于一点，并以这一点为分界线。在这一点上的反转使n个平行四边形保持不变。另见欧几里得空间中等距组的固定点。

从一个k-parallelotope的一个顶点辐射出来的边缘形成了一个k-frame ( v ,1 ... , v n ) {displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}的向量空间，并且parallelotope可以从这些向量中恢复出来，通过对向量进行线性组合，权重在0和1之间。

嵌入R m {displaystyle `mathbb {R} ^{m}中的n个平行斜面的n个体积，其中m≥n {displaystyle m\geq n}可以通过格拉姆行列式计算。或者，体积是矢量的外积的规范。

V = ‖ v 1∧ ‖ ∧ v n ‖ 。{displaystyle V=left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right|。}

如果m=n，这相当于n个向量的行列式的绝对值。

另一个公式是计算R n中的n个平行斜面P的体积 {displaystyle `mathbb {R} ^{n}} ，其n+1个顶点为V , V , ... , V n {displaystyle V_{0},V_{1},`ldots ,V_{n}}} 。其n+1个顶点为V ,0 V ,1 ..., V n {displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}，计算公式为，是

V o l ( P ) = | d e t ( [ V ] 01T , [ V ] 11T , ... , [ V n ] 1T ) |, {displaystyle {rm {Vol}(P)=|{rm {det}} ([V_{0}\ 1]^{rm {T}, [V_{1}\ 1]^{rm {T},\ldots , [V_{n}\ 1]^{rm {T}) |, }

其中[ V i ]1 {displaystyle [V_{i}\ 1]}是由V i {displaystyle V_{i}}和1连接而成的行向量。实际上，如果从[ V ] {01displaystyle [V_{0}\ 1]}中减去[ V i ] 1{displaystyle [V_{i}\ 1]}，决定式是不变的。(i > 0)，而将[ V ]01 {displaystyle [V_{0}\ 1]}放在最后一个位置只是改变其符号。

同样地，任何与平行四边形共享n条收敛边的n次方体，其体积都等于该平行四边形体积的1/n！。

这个词在亨利-比林斯利爵士1570年翻译的《欧几里德元素》中以平行ipipedon出现。在1644年版的Cursus mathematicus中，Pierre Hérigone使用的是parallelepipedum的拼写。牛津英语词典》引用今天的parallelepiped首次出现在Walter Charleton的Chorea gigantum（1663）中。

Charles Hutton's Dictionary (1795)显示了parallelopiped和parallelopipedon，显示了组合形式parallelo-的影响，仿佛第二个元素是pipedon而不是epipedon。诺亚-韦伯斯特(1806)包括拼写parallelopiped。1989年版的《牛津英语词典》将parallelopiped（和parallelipiped）明确描述为不正确的形式，但在2004年版中，这些都被列出，没有评论，只给出了强调第五音节pi（/paɪ/）的读音。

摆脱传统的发音，隐藏了希腊词根所暗示的不同分区，epi-（"上"）和pedon（"地"）结合在一起，产生了epiped，一个平坦的 "平面"。因此，一个平行四边形的面是平面的，相对的面是平行的。