矩阵

定义和注释

矩阵中的横线称为行，竖线称为列。有m行和n列的矩阵称为m乘n矩阵（或m×n矩阵），m和n称为它的维数。

矩阵中数字所在的地方叫做条目。矩阵A中位于行号i和列号j的条目称为A的i,j条目，写成A[i,j]或ai_,j。

我们写A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m/times n}}定义一个m × n矩阵A，矩阵中的每个条目称为ai_,j，对所有1≤i≤m和1≤j≤n。

例子

矩阵

[1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3 /1&2&7 /4&9&2 /6&1&5 /end{bmatrix}}}。

是一个4×3矩阵。这个矩阵有m=4行，n=3列。

元素A[2,3]或_a2,3是7。

业务

加法

两个矩阵的和是矩阵，其中(i,j)-个条目等于两个矩阵的(i,j)-个条目之和。

[1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}1&。3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

这两个矩阵的维度相同。这里A+B=B+A {\displaystyle A+B=B+A}为真。

两个矩阵的乘法

两个矩阵的乘法比较复杂。

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] 。{\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4}}={begin{bmatrix}(a1cdot b1+a2cdot b3)&(a1cdot b2+a2cdot b4)}}{begin{bmatrix}={begin{bmatrix}(a1cdot b1+a4cdot b3)&(a3cdot b2+a4cdot b4)}{begin{bmatrix}}}。

数字也是如此。

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {displaystyle {begin{bmatrix}3&5\1&4\end{bmatrix}}cdot {begin{bmatrix}2&3&5&0}}={begin{bmatrix}(3cdot 2+5cdot 5)&(3cdot 3+5cdot 0)/(1cdot 2+4cdot 5)&。(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• 只要第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即使两个矩阵的维数不同，也可以相互相乘。
• 乘法的结果，称为乘积，是另一个矩阵，其行数与第一个矩阵相同，列数与第二个矩阵相同。
• 矩阵的乘法是不互换的，这就意味着在一般情况下，A⋅B≠B⋅A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}。
• 矩阵的乘法是关联性的，即( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}。

特殊矩阵

有一些矩阵是特殊的。

方阵

方阵的行数和列数相同，所以m=n。

方阵的一个例子是

[5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}5&-2&4/0&9&1/7&6&8/end{bmatrix}}}

这个矩阵有3行3列：m=n=3。

身份认证

矩阵的每一个平方维集都有一个特殊的对应矩阵，称为"身份矩阵"。身份矩阵除了主对角线上的0之外，其他地方都是1。例如：

[1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1 {bmatrix}}}

是一个身份矩阵。每一个平方维数集正好有一个身份矩阵。身份矩阵是特殊的，因为当任何矩阵与身份矩阵相乘时，结果总是原始矩阵，没有变化。

逆矩阵

反矩阵是指与另一个矩阵相乘后，等于身份矩阵的矩阵。例如：

[7 8 6 7 ] ⋅ [7 - 8 - 6 7 ] = [1 0 0 1 ] {\displaystyle {begin{bmatrix}7&8\6&。7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\-6&7\end{bmatrix}}}是 [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\-6&7\end{bmatrix}}的倒数。}.

2x2矩阵[x y z v]{\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\z&v\end{bmatrix}}}的倒数公式为。

( 1 d e t ) [v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}{right){begin{bmatrix}v&y/z&x/end{bmatrix}}}。

其中d e t {\displaystyle det}是矩阵的行列式。在一个2x2矩阵中，行列式等于。

x v - y z {displaystyle {xv-yz}}}。

一列矩阵

一个矩阵，如果有很多行，但只有一列，称为列向量。

决定因素

确定式把一个正方形矩阵，计算出一个简单的数字，一个标量。为了理解这个数的含义，把矩阵的每一列画成一个向量。这些向量画出的平行四边形有一个面积，这就是行列式。对于所有的2x2矩阵，公式非常简单：det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \left({begin{bmatrix}a&b/c&d/d/d/c&d/d/end{bmatrix}}/right)=ad-bc}。

对于3x3矩阵，公式比较复杂。det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&)b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

较大矩阵的行列式没有简单的公式，很多计算机程序员研究如何让计算机快速找到大的行列式。

决定因素的属性

有三个规则是所有决定因素都要遵循的。这三条规则是：

• 身份矩阵的行列式为1
• 如果矩阵的两行或两列交换，那么行列式乘以-1。数学家称之为交替。
• 如果一行或一列中的所有数字都与另一个数字n相乘，那么行列式就与n相乘。另外，如果一个矩阵M有一列v是两列矩阵v 1 {\displaystyle v_{1}}和v 2 {\displaystyle v_{2}}之和。那么M的行列式是M的行列式之和，v 1 {\displaystyle v_{1}}代替v，M的v 2 {\displaystyle v_{2}}代替v，这两个条件称为多线性。

另见

• 线性代数
• 数学线性代数