指数函数

属性

因为指数函数使用指数化，所以它们遵循同样的规则。因此：

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x + y {displaystyle xp(x+y)=exp(x)\exp(y)=e^{x+y}}。.这符合x a ⋅ x b = x a + b {displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}的规则。.

自然对数是指数函数的逆运算。

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {displaystyle ln(x)=log _{e}(x)={frac {log(x)}{log(e)}}.

指数函数在微分计算中满足一个有趣和重要的属性。

d d x e x = e x {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}.}{mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}。,

这意味着指数函数的斜率是指数函数本身，随后这意味着它在x={0displaystyle x=0}处的斜率为1。这些特性是它成为数学中一个重要函数的原因。

应用程序

指数函数是最有用的数学函数之一。它被用来表示指数增长，几乎在所有科学科目中都有应用，在金融学中也很突出。指数衰变也会发生，例如放射性衰变和光的吸收。

指数函数在现实生活中的一个例子是银行的利息。如果一个人把100英镑存入一个每月有3%利息的账户，那么每个月的余额将是（假设钱没有被动过）。

月份	平衡	月份	平衡
一月	£100.00	七月	£119.41
2月	£103.00	八月	£122.99
三月	£106.09	9月	£126.68
四月	£109.27	10月	£130.48
5月	£112.55	11月	£134.39
6月	£115.93	12月	£138.42

注意来自利息的额外资金是如何逐月增加的。原始余额越大，这个人得到的利息就越多。

下面是两个指数函数的数学例子。

与数学常数e的关系

尽管基数（a {displaystyle a}）可以是大于零的任何数字，例如，10或1/2，但往往是一个叫做e的特殊数字。

数字e对每个指数函数都很重要。例如，一家银行每天支付0.01%的利息。一个人拿着他的利息钱，放在一个盒子里。10000天后（约30年），他的钱是他开始时的2倍。另一个人拿着他的利息钱，把它放回银行。因为银行现在向他支付利息，钱的数量是一个指数函数。10000天后，他的钱不是他开始时的2倍，但他的钱是他开始时的2.718145倍。这个数字非常接近数字e。如果银行支付利息的频率更高，所以每次支付的金额更少，那么这个数字将更接近数字e。

一个人也可以通过看图片来了解为什么数字e对指数函数很重要。图中有三条不同的曲线。有黑点的曲线是一个基数比e小一点的指数函数。有黑色短线的曲线是一个基数比e大一点的指数函数。它在一个点上与蓝色曲线相接触，但没有越过它。人们可以看到，红色曲线在-1处与X轴（从左到右的直线）相交，只有蓝色曲线是这样的。这就是以e为基数的指数函数很特别的原因。

e 是唯一的数字a，使指数函数f（x）=ax（蓝色曲线）在x=0点的导数值正好是1。为便于比较，图中显示了函数2x（虚线）和4x（虚线）；它们与斜率为1（红色）的直线不相切。