史瓦西度規

衍生

虽然一个更复杂的方式计算Schwarzschild度量可以找到使用Christoffel符号，它也可以导出使用方程逃逸速度（v e {/displaystyle v_{e}}），时间扩张（dt'），长度收缩（dr'）。

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}。(1)

v是粒子的速度
G是引力常数
M是黑洞的质量
r是粒子与重物的
距离有多近。

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {/displaystyle dt'=dt{/sqrt {1-{/frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}。(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {/displaystyle dr'={/frac {dr}{/sqrt {1-{/frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}}。(3)

dt'为粒子在时间上的真实变化
dt为粒子在时间上的变化dr
'为
粒子的真实移动距离
dr为粒子的距离变化
v为粒子的速度
c为光速。

注意：粒子所走的真实时间间隔和真实距离与经典物理学计算的时间和距离不同，因为它是在如此重的引力场中行进的!

利用球面坐标中的平面时空方程。

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(dphi )^{2}}}。(4)

ds是粒子的路径

θ {\displaystyle \theta}是角度。
dθ {\displaystyle \theta }和dϕ {\displaystyle \phi }是角度的变化。

将逃逸速度、时间膨胀和长度收缩的方程（方程1、2、3）输入平坦时空的方程（方程4），得到施瓦兹基德度量。

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=- 。c^{2}(1-{/frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{/frac {(dr)^{2}}{(1-{/frac {2GM}{rc^{2}}})}+r^{2}(d/theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d/phi )^{2}}}。(5)

From this equation we can take out the Schwarzschild radius ( r s {\displaystyle r_{s}} ), the radius of this black hole.从这个方程我们可以拿出Schwarzschild半径( r s {\displaystyle r_{s}} )，这个黑洞的半径。Although this is most commonly used to describe a Schwarzschild black hole, the Schwarzschild radius can be calculated for any heavy object.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {/displaystyle (ds)^{2}=- 。c^{2}(1-{/frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{/frac {1}{(1-{/frac {r_{s}}{r}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}}。(6)

r s {displaystyle r_{s}}是设定的对象半径限制。