代数

历程

早期的代数形式是由巴比伦人和希腊几何学家（如亚历山大的赫萝）发展起来的。然而，"代数"一词是阿拉伯语Al-Jabr（"铸造"）的拉丁文形式，来自一本数学书Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah（"关于铸造和方程计算的论文"），由波斯数学家Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī写于9世纪，他是生于乌兹别克斯坦Khwarizm的穆斯林。他在伊拉克巴格达的Al-Ma'moun领导下一直到公元813-833年都很兴盛，约在公元840年去世。该书在12世纪被带到欧洲，并被翻译成拉丁文。该书于是被冠以"代数"之名。数学家名字的结尾al-Khwarizmi被改成了拉丁文中比较容易说的一个词，成为英文的算法）。

例子

下面是一个简单的代数问题的例子。

苏有12颗糖，安有24颗糖。他们决定分享，这样他们就有同样数量的糖果。每人有多少糖果？

这些都是你可以用来解决问题的步骤。

1. 为了得到相同数量的糖果，Ann必须给Sue一些。让x代表安给苏的糖果数量。
2. 苏的糖果加x，一定和安的糖果减x一样，写成。12 + x = 24 - x
3. 从等式的两边减去12，得到：x=12-x。这样就得到：x = 12 - x。（等号一边发生的事情也必须发生在另一边，这样等式才仍然是真的。所以在这种情况下，当12从两边减去时，有一个中间步骤是12+x-12=24-x-12。当一个人自如地掌握了这一点后，中间步骤就不写了)。
4. 将x加到等式的两边。由此可得：2x=12
5. 将等式两边都除以2，则x=6。答案是6。如果Ann给Sue 6颗糖果，那么她们的糖果数量是一样的。
6. 为了检查这一点，将6放回原方程中x所在的位置：12+6=24-6。
7. 这就得出18=18，这是真的。他们现在每人都有18颗糖果。

通过练习，当面临一个太难解决的问题时，代数可以被用来解决其他方法。诸如修建一条高速公路、设计一部手机、或找到一种疾病的治疗方法等问题都需要用到代数。

写代数

减去z从y(或y减z)写为y - z.除以z(或y过z：y z {\displaystyle y \over z})写为y ÷z或y/z.y/z是更常用的。

在代数中，将y乘以z（或y乘以z）可以有4种写法：y×z、y*z、y-z或只写yz。通常不用乘法符号"×"，因为它看起来太像字母x，而x经常被用作变量。另外，当乘一个较大的表达式时，可以使用括号：y（z+1）。

在代数中，当我们把一个数字和一个字母相乘时，我们把数字写在字母前面。5×y=5y。当数字是1时，则不写1，因为1乘以任何数都是这个数（1×y=y），所以不需要写。

顺便说一下，在代数中，你不一定要用字母x或y。变量只是表示一些未知数或数值的符号，所以你可以使用任何变量。

函数和图形

代数的一个重要部分是研究函数，因为函数经常出现在我们要解决的方程中。函数就像一台机器，你可以把一个或多个数字放入其中，然后得到一个或多个数字。在使用函数时，图形可以成为帮助我们研究方程解的有力工具。

图形是显示使等式或不等式为真的所有变量值的图片。通常当只有一个或两个变量时，这很容易做出。图形通常是一条线，如果这条线不弯曲或不直上直下，它可以用基本公式y=mx+b来描述，变量b是图形的y截距（线与纵轴交叉的地方），m是线的斜率或陡度。这个公式适用于图形的坐标，线上的每一点都写为（x，y）。

在一些数学问题中，比如一条线的方程，可以有多个变量（这里是x和y）。为了找到线段上的点，需要改变一个变量。被改变的变量叫做"独立"变量。然后再进行数学运算，做出一个数。做出来的数字叫做"因变量"。大多数情况下，自变量写成x，因变量写成y，例如，在y=3x+1。这通常放在图形上，使用x轴（向左和向右）和y轴（向上和向下）。它也可以用函数形式写成：f(x) = 3x + 1。所以在这个例子中，我们可以将x填入5，得到y=16。在x上填入2，得到y=7。在x上填入0，得到y=1。所以有一条线穿过(5,16)、(2,7)和(0,1)这三点，如右图所示。

如果x的幂是1，它是一条直线。如果它是平方或其他的幂，它将是一条曲线。如果它使用了不等式（<或>），那么通常图形的一部分会在线的上方或下方有阴影。

代数规则

在代数中，有一些规则可以用来进一步理解方程。这些规则被称为代数的规则。虽然这些规则看起来似乎毫无意义或显而易见，但明智的做法是了解这些特性并不是在数学的所有分支中都成立。因此，在认为这些公理规则是理所当然的之前，先了解一下这些公理规则是如何声明的，将是很有用的。在继续讨论这些规则之前，先思考一下将要给出的两个定义。

1. Opposite - a {/displaystyle a}的反面是 - a {/displaystyle -a}。
2. 互惠 - 一个{displaystyle a}的互惠是1 a {displaystyle {frac {1}{a}}}}。.

规则

加法的交换性

'换算'是指一个函数如果把数字换来换去，结果是一样的。换句话说，方程中各项的顺序并不重要。当两个项的运算符是加法时，'加法的共通性'是适用的。在代数术语中，这给出了a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 。

请注意，这不适用于减法！（即a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a}）。(即a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a} )

乘法的共轭性

当两个项的运算符是乘法时，"乘法的互换性质"是适用的。用代数术语来说，这就给出了a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}。

注意，这不适用于除法!(即a b≠b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}/neq {\frac {b}{a}}}}。当a≠b {displaystyle a/neq b} )

加法的关联性

'联想'指的是数字的分组。加法的联想属性意味着，当把三个或更多项相加时，这些项如何分组并不重要。Algebraically, this gives a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} .请注意，这对于减法来说并不成立，例如，1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1} (见分布属性)。

乘法的关联性

乘法的关联性意味着，当三个或更多项相乘时，这些项如何分组并不重要。代数上，这给出了a⋅ ( b⋅ c ) = ( a⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)cdot c}。注意，这对除法不成立，例如：2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2} 。

分配财产

分布属性指出，一个数与另一个项相乘可以进行分布。例如：a⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac} .(不要将其与关联属性混淆!例如，a⋅ ( b + c ) ≠ ( a⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)neq (a\cdot b)+c} .)

加法身份属性

'身份'是指一个数的属性，即它与自己相等。换句话说，存在着对两个数的运算，使它等于和的变量。加法身份属性指出，任何数字和0的和都是这个数字：a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} 。这也适用于减法：a - 0 = a {\displaystyle a-0=a} .

乘法特性

乘法特性说明任何数和1的乘积都是这个数：a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a} 。这也适用于除法：a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a} .

加法逆属性

加法反性质有点像加法特性的反面。当一个运算是一个数和它的相反数之和，并且它等于0时，这个运算就是一个有效的代数运算。在代数上，它声明如下：a - a = 0 {\displaystyle a-a=0} 。1的加法倒数是（-1）。

乘法逆属性

乘法反性质意味着，当一个运算是一个数和它的倒数的乘积，并且它等于1时，这个运算是一个有效的代数运算。在代数上，它规定如下： a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}{a}}=1} 。2的乘法倒数是1/2。

高级代数

除了"初级代数"或基础代数外，还有一些高级形式的代数，在高校中教授，如抽象代数、线性代数和通用代数。其中包括如何利用矩阵同时求解许多线性方程。抽象代数是研究在方程中发现的事物，超越了数字的范畴，以数组为单位，更加抽象。

许多数学问题都是关于物理学和工程学的。在许多物理问题中，时间是一个变量。使用代数中的基本概念可以帮助将数学问题简化为最简单的形式，使其更容易解决困难的问题。能量是e，力是f，质量是m，加速度是a，光速有时是c。这在一些著名的方程中使用，如f=ma和e=mc^2（尽管最后一个方程需要更复杂的代数以外的数学来得出）。

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