歐拉恆等式

欧拉特征，有时也叫欧拉方程，就是这个方程。

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}。 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

  • π {displaystyle \pi}。{\displaystyle \pi }, pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle pi \approx 3.14159}。 {\displaystyle \pi \approx 3.14159}

e≈2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828}。 {\displaystyle e\approx 2.71828}

ı = √ - 1 {\displaystyle imath =\surd {-1}}。 {\displaystyle \imath =\surd {-1}}

欧拉的身份是以瑞士数学家伦纳德-欧拉的名字命名的。目前还不清楚是他自己发明的。

物理世界》的一项调查中，受访者称这一身份是"有史以来最深刻的数学陈述"，"不可思议而崇高"，"充满了宇宙之美"，"令人震撼"。

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利用泰勒数列对Euler's Identity的数学证明。

许多方程可以写成一系列的项相加。这就是所谓的泰勒数列。

指数函数e x {\displaystyle e^{x}{\displaystyle e^{x}}}可以写成泰勒数列。

e x = 1 + x + x 2 2 !+ x 3 3 !+ x 4 4 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n !{\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2}\超过{2！}}+{x^{3}。\逾{3！}}+{x^{4}。\Over {4!}/sum _{k=0}^{infty}{x^{n}。\}}}超过n！ {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

同样，正弦也可以写成

sin x = x - x 3 3 !+ x 5 5 !- − x 7 7 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) !x 2 n + 1 {displaystyle sin {x}=x-{x^{3}\超过3！}+{x^{5}。\超过5！}-{x^{7}。\over 7! }cdots =sum _{k=0}^{{kinfty }{(-1)^{n}.\(2n+1)！}{x^{2n+1}}}。 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

和余弦为

cos x = 1 - x 2 2 !+ x 4 4 !- − x 6 6 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) !x 2 n {displaystyle cos {x}=1-{x^{2} ...\超过2！}+{x^{4}。\超过4！}-{x^{6}。\over 6! }cdots =sum _{k=0}^{{kinfty }{(-1)^{n}}。\(2n)！}{x^{2n}}}。 {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

e x {displaystyle e^{x}}{\displaystyle e^{x}}似乎是正弦和余弦的泰勒数列之和，只是所有的符号都改为正数。我们实际证明的特征是 e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

所以，在左边是e i x {displaystyle e^{ix}}。{\displaystyle e^{ix}}其泰勒级数为 1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 !+ x 4 4 !＋i x 5 5 !⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}\超过2！}-{ix^{3}。\超过3！}+{x^{4}。\超过4！}+{ix^{5}。\（超过5！ ） （cdots）} {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

我们可以看到这里有一个规律，每第二个项都是i乘以正弦的项，其他项都是余弦的项。

右边是cos（x）+i sin（x） {\displaystyle \cos（x）+i\sin（x）}。{\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}，其泰勒级数是余弦的泰勒级数，加上正弦的泰勒级数的i倍，可显示为：。

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \ over 2!}+{x^{4} \ over 4!}cdots )+(ix-{ix^{3} \ over 3!}+{ix^{5} \ over 5!}cdots )}。 {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

加起来就是

1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 !+ x 4 4 !＋i x 5 5 !⋯⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}\超过2！}-{ix^{3}。\超过3！}+{x^{4}。\超过4！}+{ix^{5}。\（超过5！ ） （cdots）} {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

因此：

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+isin(x)}。 {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

现在，如果我们把x替换成π {\displaystyle \pi }。{\displaystyle \pi }我们有...

  • e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}。 {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

那么我们知道

  • cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}。 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

和

  • sin ( π ) = 0 {displaystyle \sin(\pi )=0}。 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

因此：

  • e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}。 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
  • e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}。 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED

问题和答案

问：什么是欧拉定理？
答：欧拉定理，有时也称为欧拉方程，是一个以数学常数π、欧拉数和虚数单位以及三种基本数学运算（加法、乘法和指数化）为特征的方程。该方程为e^(i*pi)+1=0。

问：Leonard Euler是谁？
答：欧拉（Leonard Euler）是一位瑞士数学家，这个身份是以他的名字命名的。目前还不清楚他是否自己发明了这个特性。

问：对欧拉的特性有什么反应？
答：《物理世界》调查的受访者称该特性是 "有史以来最深刻的数学陈述"、"不可思议的崇高"、"充满了宇宙之美 "和 "令人震惊"。

问：这个方程中的一些常数是什么？
答：这个方程中的常数是π（约3.14159），欧拉数（约2.71828）和一个虚数单位（等于-1）。

问：在这个方程中，有哪些运算？
答：这个方程中的运算是加法、乘法和指数化。

问：我们如何用数学方法表示圆周率？
答：π可以用数学方法表示为π≈3.14159 {displaystyle pi ≈approx 3.14159}。

问：我们如何用数学方法表达欧拉数？答：欧拉数在数学上可以表示为e≈2.71828 {displaystyle e\approx 2.71828}。

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