歐拉恆等式

许多方程可以写成一系列的项相加。这就是所谓的泰勒数列。

指数函数e x {\displaystyle e^{x}}可以写成泰勒数列。

e x = 1 + x + x 2 2 !+ x 3 3 !+ x 4 4 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n !{\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2}\超过{2！}}+{x^{3}。\逾{3！}}+{x^{4}。\Over {4!}/sum _{k=0}^{infty}{x^{n}。\}}}超过n！

同样，正弦也可以写成

sin x = x - x 3 3 !+ x 5 5 !- − x 7 7 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) !x 2 n + 1 {displaystyle sin {x}=x-{x^{3}\超过3！}+{x^{5}。\超过5！}-{x^{7}。\over 7! }cdots =sum _{k=0}^{{kinfty }{(-1)^{n}.\(2n+1)！}{x^{2n+1}}}。

和余弦为

cos x = 1 - x 2 2 !+ x 4 4 !- − x 6 6 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) !x 2 n {displaystyle cos {x}=1-{x^{2} ...\超过2！}+{x^{4}。\超过4！}-{x^{6}。\over 6! }cdots =sum _{k=0}^{{kinfty }{(-1)^{n}}。\(2n)！}{x^{2n}}}。

e x {displaystyle e^{x}}似乎是正弦和余弦的泰勒数列之和，只是所有的符号都改为正数。我们实际证明的特征是 e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

所以，在左边是e i x {displaystyle e^{ix}}。其泰勒级数为 1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 !+ x 4 4 !＋i x 5 5 !⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}\超过2！}-{ix^{3}。\超过3！}+{x^{4}。\超过4！}+{ix^{5}。\（超过5！ ） （cdots）}

我们可以看到这里有一个规律，每第二个项都是i乘以正弦的项，其他项都是余弦的项。

右边是cos（x）+i sin（x） {\displaystyle \cos（x）+i\sin（x）}。，其泰勒级数是余弦的泰勒级数，加上正弦的泰勒级数的i倍，可显示为：。

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \ over 2!}+{x^{4} \ over 4!}cdots )+(ix-{ix^{3} \ over 3!}+{ix^{5} \ over 5!}cdots )}。

加起来就是

1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 !+ x 4 4 !＋i x 5 5 !⋯⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}\超过2！}-{ix^{3}。\超过3！}+{x^{4}。\超过4！}+{ix^{5}。\（超过5！ ） （cdots）}

因此：

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+isin(x)}。

现在，如果我们把x替换成π {\displaystyle \pi }。我们有...

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}。

那么我们知道

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}。

和

• sin ( π ) = 0 {displaystyle \sin(\pi )=0}。

因此：

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}。
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}。

QED