泰勒级数

古希腊哲学家埃利亚的芝诺首先提出了这个系列的想法。这个悖论被称为 "芝诺悖论 "的结果。他认为，不可能将无限多的数值相加而得到一个单一的有限数值作为结果。

另一位希腊哲学家，亚里士多德，对这个哲学问题提出了答案。然而，是阿基米德用他的穷举法想出了一个数学上的解决方案。他能够证明，当某样东西被分割成无限多的小块时，当所有的小块重新加在一起时，它们仍然会变成一个整体。几百年后，中国古代数学家刘徽也证明了同样的事情。

泰勒级数最早的例子是1300年代印度Sañgamāgrama的Mādhava的工作。后来的印度数学家写下了他对正弦、余弦、正切和正切等三角函数的研究。马德拉瓦的著作或记录今天都不存在。其他数学家以马德哈瓦的发现为基础，并在15世纪之前更多地研究这些系列。

苏格兰数学家詹姆斯-格雷戈里（James Gregory）在16世纪从事这一领域的工作。格雷戈里研究了泰勒级数，并发表了几个麦克劳林级数。1715年，布鲁克-泰勒发现了一种将该数列应用于所有函数的一般方法。(所有以前的研究都显示了如何将该方法只应用于特定的函数）。科林-麦克劳林在17世纪发表了泰勒系列的一个特例。这个以零为基础的数列被称为Maclaurin数列。

泰勒级数可以用来描述任何函数ƒ(x)，它是一个平滑的函数（或者用数学术语说，"无限可微"），函数ƒ可以是实数，也可以是复数。然后，泰勒级数被用来描述该函数在某个数字a附近的样子。

这个泰勒系列，写成幂级数，看起来像。

f ( a ) + f ′ ( a ) !1( x - a ) + f ″ ( a ) !2( x - a ) + 2f ( )3 ( a ) !3( x - a ) +3 ⋯ 。{displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1！}(x-a)+{frac {f''(a)}{2！}(x-a)^{2}+{frac {f^{(3)}(a)}{3！}(x-a)^{3}+\cdots .}

这个公式也可以用西格玛记号写成：。

∑ n = 0∞ f ( n ) ( a ) n !( x - a ) n {displaystyle {sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}, (x-a)^{n}} 。

ƒ( ⁽ⁿ⁾a)是ƒ在a点的第n次导数。a {displaystyle a}是函数域中的一个数字。如果一个函数的泰勒级数等于该函数，该函数被称为 "解析函数"。

麦考林系列

当a = {0displaystyle a=0}时，函数被称为Maclaurin系列。时，该函数被称为Maclaurin数列。写成幂级数的Maclaurin级数看起来像。

f ( ) 0+ f ′ ( )0 !1x + f ″ ( )0 !2x +2 f ( ) 3( )0 !3x +3 ⋯ .{displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1！}x+{frac {f''(0)}{2！}x^{2}+{frac {f^{(3)}(0)}{3！}x^{3}+\cdots .}

当用西格玛符号书写时，麦考林数列是。

∑ n = 0∞ f ( n ) ( ) 0n !x n {sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}.

一些重要的泰勒系列和麦克劳林系列如下。

sin x = ∑ n = 0∞ ( -1 ) n ( n 2+ ) 1!x n2 + = 1x - x !33+ x !55- ⋯对于所有的x {displaystyle\sin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)！}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3！}+{frac {x^{5}}{5！}}-cdots {\text{对于所有}x\!}

cos x = ∑ n = 0∞ ( -1 ) n ( n2 ) !x n 2= 1- x !22+ x !44- ⋯对于所有的x {displaystyle \cos x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)！}x^{2n}=1-{frac {x^{2}}{2！}+{frac {x^{4}}{4！}-cdots { for all }x\!}

sinh ( x ) = ∑ n = 0∞ ( 1n2 + )1 !x n2 + for1 all x {displaystyle\sinh(x)=\sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)!}x^{2n+1}{text{ for all }x\!}

cosh ( x ) = ∑ n = 0∞ ( 1n2 ) !x n 2for all x {displaystyle \cosh(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n)!}x^{2n}{text{ for all }x\!}

e x = ∑ n = 0∞ n1 !x n = +1 x + !12x +2 !13x +3 ⋯ 对于所有的x {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{{frac {1}{2!}}x^{2}+{{frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {text{对于所有}x!}

11 -  x = ∑ n = 0∞ x n = +1 x + x + 32x + 4⋯ 对于所有 | x | < {\1displaystyle {frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots {text{对于所有}|x|<1}的情况下｝

ln ( +1 x ) = ∑ n = 1∞ ( - 1) n + n 1x n for all | x | < {1displaystyle ln(1+x)=\sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{text{ for all }|x|<1}.

tan x = ∑ n = 1∞ B n2 ( - 4) n (1 - 4n ) ( n2 ) !x n 2-1 = x + x + 33x 2+ 515⋯ for | x | < π {2displaystyle 谭x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}（-4）^{n}（1-4^{n}）}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {text{ for }}|x|<{frac {\pi }{2}}}!}

其中B n {displaystyle B_{n}}是第n个伯努利数，ln {displaystyle ln }是自然对数。