斐波那契数

斐波那契数数学中的一个数字序列,以比萨的莱昂纳多命名,称为斐波那契。斐波那契在1202年写了一本名为《Liber Abaci》("计算书")的书,将数字模式引入西欧数学,尽管印度的数学家已经知道它。

模式的第一个数字是0,第二个数字是1,之后的每一个数字等于把它前面的两个数字加在一起。比如0+1=1,3+5=8。这个顺序一直持续下去。

这可以写成一个递推关系。

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}}。 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

为了使这一点有意义,至少需要给出两个起始点。这里,F 0 = 0 {displaystyle F_{0}=0}{\displaystyle F_{0}=0}F 1 = 1 {displaystyle F_{1}=1{\displaystyle F_{1}=1}}

通过在斐波那契平铺中的方格中画一条线而形成的斐波那契螺旋线;这条线使用的方格大小为1、1、2、3、5、8、13、21和34;见黄金螺旋线。
通过在斐波那契平铺中的方格中画一条线而形成的斐波那契螺旋线;这条线使用的方格大小为1、1、2、3、5、8、13、21和34;见黄金螺旋线。

斐波那契数

斐波那契数与黄金比例有关,黄金比例在建筑和自然界的许多地方都有体现。一些例子是茎上叶子的图案、菠萝的各个部分、洋蓟的开花、蕨类植物的解卷和松果的排列。斐波那契数也出现在蜜蜂的家谱中。

向日葵花头,外侧呈34和55的螺旋状小花。
向日葵花头,外侧呈34和55的螺旋状小花。

比奈公式

第n个斐波那契数可以用黄金比率来写。这就避免了必须使用递归法来计算斐波那契数,而计算斐波那契数需要计算机花费很长时间。

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{sqrt {5}}}}。 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

其中φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}}{2}}}}{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}黄金比例



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