斐波那契数

斐波那契数数学中的一个数字序列,比萨的莱昂纳多命名,称为斐波那契。斐波那契在1202年写了一本名为《Liber Abaci》("计算书")的书,将数字模式引入西欧数学,尽管印度的数学家已经知道它。

模式的第一个数字是0,第二个数字是1,之后的每一个数字等于把它前面的两个数字加在一起。比如0+1=1,3+5=8。这个顺序一直持续下去。

这可以写成一个递推关系。

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}}。 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

为了使这一点有意义,至少需要给出两个起始点。这里,F 0 = 0 {displaystyle F_{0}=0}{\displaystyle F_{0}=0}F 1 = 1 {displaystyle F_{1}=1{\displaystyle F_{1}=1}}

通过在斐波那契平铺中的方格中画一条线而形成的斐波那契螺旋线;这条线使用的方格大小为1、1、2、3、5、8、13、21和34;见黄金螺旋线。Zoom
通过在斐波那契平铺中的方格中画一条线而形成的斐波那契螺旋线;这条线使用的方格大小为1、1、2、3、5、8、13、21和34;见黄金螺旋线。

斐波那契数

斐波那契数与黄金比例有关,黄金比例在建筑和自然界的许多地方都有体现。一些例子是茎上叶子的图案、菠萝的各个部分、洋蓟的开花、蕨类植物的解卷和松果的排列。斐波那契数也出现在蜜蜂的家谱中。

向日葵花头,外侧呈34和55的螺旋状小花。Zoom
向日葵花头,外侧呈34和55的螺旋状小花。

比奈公式

第n个斐波那契数可以用黄金比率来写。这就避免了必须使用递归法来计算斐波那契数,而计算斐波那契数需要计算机花费很长时间。

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{sqrt {5}}}}。 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

其中φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}}{2}}}}{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}黄金比例

问题和答案

问:什么是斐波那契数列?
答:斐波那契数列是数学中的一种数字模式,以比萨的莱昂纳多命名,被称为斐波那契。它从0和1开始,之后的每个数字都等于把前面的两个数字加在一起。

问:谁把这种数字模式引入了西欧数学?
答:斐波纳契在1202年写了一本名为Liber Abaci("计算之书")的书,将这种数字模式引入了西欧数学,尽管印度的数学家已经知道这种模式。

问:斐波那契数列如何书写?
答:斐波那契数列可以写成递归关系,其中F_n = F_n-1 + F_n-2,n ≥ 2。

问:这个递归关系的起始点是什么?
答:为了使之有意义,至少需要给出两个起点。这里,F_0=0,F_1=1。

问:斐波那契数列会一直持续下去吗?
答:是的,这个序列会永远持续下去。

问:数学家们在哪里第一次了解到这种数字模式?答:在比萨的莱昂纳多(Fibonacci)将这种数字模式引入西欧之前,印度的数学家就已经熟悉了。

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