向量

• 约翰向北走了20米。方向 "北 "和距离 "20米 "是一个矢量。
• 一个苹果以每秒10米的速度落下。方向 "向下 "与速度 "每秒10米 "结合起来就是一个矢量。这种矢量也被称为速度。

• 两地之间的距离是10公里。这个距离不是一个矢量，因为它不包含一个方向。
• 一个盒子里的水果数量不是一个矢量。
• 一个人的手指不是一个矢量，因为只有一个方向。没有量级（例如，从这个人的手指到建筑物的距离）。
• 一个物体的长度。
• 一辆汽车以每小时100公里的速度行驶。这不是描述一个矢量，因为只有幅度，而没有方向。

• 位移是一种矢量。位移是指某物在某一方向上移动的距离。单纯测量距离是一个标量。
• 包括方向的力是一个矢量。
• 速度是一个矢量，因为它是某个方向的速度。
• 加速是速度的变化率。如果一个物体正在改变速度或改变方向，它就是在加速。

使用从头到尾的方法在纸上添加向量

从头到尾的向量相加方法对于在纸上估算两个向量相加的结果很有用。要做到这一点。

• 每个向量都被画成一个箭头，后面有一定的长度，纸上的每一个长度单位代表向量的一定幅度。
• 绘制下一个矢量，第二个矢量的尾部（末端）位于第一个矢量的头部（前端）。
• 对所有其他矢量重复上述步骤。在前一个向量的头部绘制下一个向量的尾部。
• 从第一个向量的尾部到最后一个向量的头部画一条线，这就是所有向量的结果（总和）。

这被称为 "从头到尾 "的方法，因为前一个矢量的每个头都会导致下一个矢量的尾部。

使用组件形式

^{[需要解释的是 d]}

使用分量形式将两个向量相加，从字面上看就是将两个向量的分量相加，形成一个新的向量。例如，让a和b是两个二维向量。这些向量可以用它们的分量来写。

a = ( a x , a y ) {\displaystyle\mathbf {a} =(a_{x},a_{y}) }

b = ( b x , b y ) {\displaystyle\mathbf {b} =(b_{x},b_{y}) }

假设c是这两个向量之和，所以c=a+b。这意味着c=( a x + b x , a y + b y ) {displaystyle\mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}。

下面是一个两向量相加的例子，使用它们的分量形式。

a = ( ,3 -1 ) {displaystyle\mathbf {a} =(3,-1)}。

b = ( ,2 ) {2displaystyle\mathbf {b} =(2,2)}。

c = a + b {displaystyle\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }}

= ( a x + b x , a y + b y ) {displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y}) }

= ( + 3,2 - 1+ ) {2displaystyle =(3+2,-1+2) }

= ( ,5 ) {1displaystyle =(5,1)}

这种方法适用于所有的矢量，而不仅仅是二维的矢量。

使用点积

点积是一种向量相乘的方法。它产生一个标量。它使用分量形式。

a = ( , 2)3 b = ( ,1 ) 4a ⋅ b = ( , 2)3 ⋅ ( ,1 ) 4= ( 2⋅ ) 1+ ( 3⋅ )4 = +2 = {\1214displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2。3)\mathbf {b} =(1,4)\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\=（2\cdot 1）+（3\cdot 4）\=2+12=14\end{aligned}}.

使用交叉积

交叉积是另一种向量相乘的方法。它产生另一个向量。使用分量形式。

a × b = | a | b | sin ( θ ) n {displaystyle /mathbf {a} /times /mathbf {b} =|/mathbf {a} =|/mathbf {b} =||mathbf {b}|mathbf {b}|sin(theta )/mathbf {n}。}

这里 | a | {displaystyle |mathbf {a} {displaystyle |mathbf {a}}指的是 {displaystyle {mathbf {a}}的长度。|}指的是a {displaystyle \mathbf {a}的长度。}和n {displaystyle `mathbf {n}}是指在直角上的单位矢量。}是指与a {displaystyle \mathbf {a}}和b {displaystyle \mathbf {n}}成直角的单位向量。}和b {displaystyle `mathbf {b}}的单位矢量成直角。}.

乘以一个标量

要用一个标量（一个正常的数字）乘以一个向量，你要用这个数字乘以向量的每个分量。

c x = ( c x , 1c x ,2 . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c,x_{1},c,x_{2},...,c,x_{n}) }

这方面的一个例子是

c = x5 = ( , 3)4 c x = ( 5⋅ ,3 5⋅ ) 4= ( ,15 ) {\20displaystyle {begin{aligned}c=5\\mathbf {x} =(3,4)\c,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\=(15,20)end{aligned})

• 矢量图形
• 矢量场