除法定义与基础知识：符号、运算规则、商、余数与例题

在数学中，"除法"一词是指与乘法相反的运算。除法的一些符号可以是一个斜线，一条线，或除号（÷ {\displaystyle \div } $\div$ ），如：

6 / 3 {\displaystyle 6/3\,} $6/3\,$ 或6 3 {\displaystyle {frac {6}{3}}} ${\frac {6}{3}}$ 或6 ÷3.{displaystyle 6/div 3.}}或6÷3. $6\div 3.$

以上形式都表示“6 除以 3”，结果是 2。表达式中的第一个数 6 称为 被除数（dividend），第二个数 3 称为除数（divisor），计算结果称为商。对于整数相除，如果不能整除，则剩下的部分称为"余数"。例如 14 ÷ 4 = 3 余 2，等价于带分数 3+²⁄₄，约简为 3+¹⁄₂，也就是 3.5。

基本性质与运算规则

乘除关系：若 a ÷ b = c，则等价于 a = b × c。除法是乘法的逆运算。
顺序敏感：除法不是交换律运算，a ÷ b 与 b ÷ a 通常不同（例如 6 ÷ 3 = 2，但 3 ÷ 6 = 0.5）。
除以零：任何数除以 0 在初等算术中是未定义的（没有意义）。0 除以非零数是 0（0 ÷ 5 = 0）。
符号规则：带符号数相除遵循乘法的符号规则（同号得正，异号得负）。例如 (−6) ÷ (−3) = 2，(−6) ÷ 3 = −2。
小数与分数：除法可以得到小数或分数表示。整数相除若不能整除，可用小数、带分数或保留余数表示。

欧几里得除法（带余数的整数除法）

对于整数 a（被除数）与正整数 b（除数），存在唯一的一对整数 q（商）和 r（余数），满足：

a = b × q + r，且 0 ≤ r < b。

例如：14 = 4 × 3 + 2，所以 14 ÷ 4 = 3 余 2；若把余数写成小数，14 ÷ 4 = 3.5。

小数与分数的除法

把除法写成分数：a ÷ b 常写作 a/b，分数线即表示除法。高等数学中更常用分数或斜线而不常用 ÷。
把除法改写为乘法：a ÷ b = a × (1/b)。当 b ≠ 0 时，1/b 为 b 的倒数。
把除法变为整数除法：若要用整除算法处理小数，可以把被除数和除数同时乘以相同的 10 的幂，使除数成为整数，再计算。

长除法（手算步骤）

长除法用于手工除较长的整数或小数。步骤大致为：

从被除数左边起，取足够多的位使其不小于除数。
看该部分能被除数整除几次，写下对应位的商。
把除数乘以该位商，减去得到的差作为新的余数，向下再“拉”下一位数字重复上述过程。
若需要小数结果，可在被除数后补零继续除下去。

例：用长除法算 125 ÷ 4：

12 ÷ 4 = 3，余 0；把 5 拉下，5 ÷ 4 = 1，余 1。
因此 125 ÷ 4 = 31 余 1。作为小数，继续在余数后补 0：10 ÷ 4 = 2 余 2 → 31.2…，最终 125 ÷ 4 = 31.25。

常见例题与演示

200 ÷ 5 = 40（整除）。
7,000,000,000 ÷ 1000 = 7,000,000（与原文等价，700万）。
14 ÷ 4 = 3 余 2；写成带分数为 3+²⁄₄ = 3+¹⁄₂ = 3.5。
6 ÷ 3 = 2（被除数 6，除数 3，商 2）。

补充说明

在代数或高等数学中，除法通常通过乘以倒数来表示，并且更侧重于除法的代数性质与极限意义下的“除以零”的讨论（后者在不同上下文中有不同处理，比如极限趋向无穷），但在初等算术中将其视为未定义即可。
在日常计算与编程中要注意除法的类型：整数除法通常会舍去小数部分（或给出商与余数），而浮点除法会给出小数结果。

通过理解被除数、除数、商与余数的定义以及除法与乘法的关系，可以更好地掌握各类除法的计算与应用。

20：4=5 {/displaystyle 20：4=5}。 $20:4=5$

有乘法

如果c乘以b等于a，写成。

c×b=a {displaystyle c/times b=a}。 $c\times b=a$

其中b不为零，那么a除以b等于c，写成。

a b = c {displaystyle {frac {a}{b}}=c}}。 ${\frac {a}{b}}=c$

例如：

6 3 = 2 {\displaystyle {frac {6}{3}}=2}。 ${\frac {6}{3}}=2$

自从

2×3=6 {displaystyle 2times 3=6 $2\times 3=6$ } .

在上面的表达式中，a叫做红利，b叫做除数，c叫做商。

除以零

x 0 = ?{displaystyle {frac {x}{0}}=?} ${\frac {x}{0}}=?$

...没有定义。

符号

除法最常用的方法是把红利放在除数上，在它们之间划一条横线，也叫"vinculum"。例如，a除以b的计算方法是

a b .{displaystyle {frac {a}{b}}.} ${\frac {a}{b}}.$

可以大声读成"a除以b"或"a过b"。把除法全部写在一行的方法是先写红利，再写斜线，再写除数，像这样。

a/b .{displaystyle a/b.\,}. $a/b.\,$

这是在大多数计算机编程语言中指定除法的通常方式，因为它可以很容易地被键入为一个简单的字符序列。

一种介于这两种形式之间的排版变化使用了斜线，但提升了红利，降低了除数。

^a⁄_b .

这些形式中的任何一种都可以用来显示一个分数。分数是一种除法表达式，其中红利和除数都是整数（尽管通常称为分子和分母）。分数是一种公认的数字书写方式。我们并不总是希望除法的结果用小数来写。

一种不太常见的表示除法的方法是用obelus（或除号）这种方式。

a÷b .{displaystyle a\div b. }。 $a\div b.$

但在初等算术中，这种形式使用得相当频繁。obelus也可以单独用来表示除法运算本身，例如作为计算器键上的标签。

在一些非英语国家的文化中，"a除以b"写成a：b，但在英语中，冒号只限于表达相关的比例概念（a：b说成"a是b"）。

问题和答案

问："除法 "一词在数学中是什么意思？
答：在数学中，除法是一种操作，与乘法相反。

问：除法的符号是什么？
答：除法的符号是斜线（/）和分数线。

问：什么是除法问题中的红利？
答：除法问题中的第一个数字被称为红利。

问：什么是除法问题中的除数？
答：除法问题中的第二个数字被称为除数。

问：除法问题的结果叫什么？
答：除法问题的结果称为商，剩下的整数称为 "余数"。

问：除法时可以使用大数吗？
答：可以，除法时可以使用非常大的数字，如200或70亿。