双曲几何

双曲几何的一个有趣的属性来自于通过一个点P的不止一条平行线的出现：有两类不相交的线。假设B是l上的一点，使直线PB与l垂直。考虑通过P的直线x，使x不与l相交，并且PB与x之间的角度θ从PB逆时针方向看是尽可能小的；也就是说，任何较小的角度都会迫使直线与l相交，这在双曲几何中称为渐近线。对称地讲，在PB与自身形成相同角度θ，但从PB顺时针方向出发的直线y也将是渐近线。请注意，由于在θ和90度之间有无数个可能的角度，而每一个角度都会决定两条通过P并与l不相交平行的线，所以存在无数条超平行线。

因此，我们有平行公设的这种修正形式。在双曲几何中，给定任何直线l，以及不在l上的点P，正好有两条通过P的直线与l渐近，以及无限多通过P的直线与l超平行。

这些类型的线之间的区别也可以用以下方式来看：渐近线之间的距离在一个方向上运行到零，在另一个方向上无限制地增长；超平行线之间的距离在两个方向上都增加。超平行定理指出，在双曲平面上有一条唯一的线与一对给定的超平行线中的每一条都垂直。

在欧几里得几何中，平行角是一个常数；也就是说，平行线之间的任何距离‖B P‖ {displaystyle lVert BP\rVert }都会产生一个等于90°的平行角。在双曲几何中，平行角随Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)}函数而变化。这个函数由Nikolai Ivanovich Lobachevsky描述，对于每个距离p = ‖ B P ‖ {displaystyle p=\lVert BP\rVert }产生一个独特的平行角。.随着距离变短，Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}接近90°，而随着距离增加，Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}接近0°。因此，随着距离变小，双曲平面的表现越来越像欧几里得几何。事实上，在与1-K {\displaystyle {frac {1}{sqrt {-K}}}}，其中K {displaystyle K\\!}是平面的（恒定）高斯曲率，一个观察者将很难确定他是在欧几里得平面还是双曲平面。

一些几何学家试图证明平行公设，包括奥马尔-卡亚姆，以及后来的乔万尼-杰罗拉莫-萨奇里、约翰-沃利斯、兰伯特和勒让德。他们的尝试失败了，但他们的努力催生了双曲几何。Alhacen, Khayyam关于四边形的定理，是关于双曲几何的第一个定理。他们关于双曲几何的工作对后来欧洲几何学家的发展产生了影响，包括维特洛、阿方索和约翰-沃利斯。

在十九世纪，双曲几何由亚诺什-博利耶和尼古拉-伊万诺维奇-洛巴切夫斯基探索，有时以他们的名字命名。洛巴切夫斯基在1830年发表了文章，而波利亚伊则独立发现了它，并在1832年发表。卡尔-弗里德里希-高斯也研究了双曲几何，在1824年给陶里努斯的信中描述了他构建了双曲几何，但没有发表他的作品。1868年，Eugenio Beltrami提供了它的模型，并以此证明，如果欧几里得几何是一致的，那么双曲几何就是一致的。

术语 "双曲几何 "是由Felix Klein在1871年提出的。更多的历史，见非欧几里得几何的文章。

有三种模型常用于双曲几何：克莱因模型、Poincaré圆盘模型和洛伦兹模型，或双曲线模型。这些模型定义了一个真正的双曲空间，满足了双曲几何的公理。尽管有这样的命名，但这两个圆盘模型和半平面模型是由贝尔特拉米提出的双曲空间模型，而不是由庞加莱或克莱因提出。

1. 克莱因模型，也被称为投影盘模型和贝尔特拉米-克莱因模型，用圆的内部作为双曲平面，圆的弦作为线。
2. 庞加莱半平面模型将由欧几里得线B决定的欧几里得平面的一半作为双曲平面（B本身不包括在内）。
• 然后，双曲线要么是与B正交的半圆，要么是垂直于B的射线。
• 两个Poincaré模型都保留了双曲角，因此是保形的。因此，这些模型中的所有等值线都是莫比乌斯变换。
• 半平面模型与圆盘边缘的Poincaré圆盘模型相同（在极限）。
• 这个模型可以直接应用于狭义相对论，因为闵可夫斯基3空间是时空的模型，抑制了一个空间维度。我们可以用双曲线代表各种运动的观察者，从一个点向外辐射的空间平面，在一个固定的适当时间内将到达的事件。然后，双曲线上两点之间的双曲距离可以与两个相应的观察者之间的相对速度相鉴别。

M.埃舍尔著名的版画《圆形极限III》和《圆形极限IV》很好地说明了保形盘模型。在这两幅作品中，人们可以看到测地线。(在III中，白线不是测地线，而是与测地线一起运行的超循环)。通过对三角形和正方形的角度之和的影响，也可以很清楚地看到双曲平面的负曲率。

在欧几里得平面内，它们的角度之和为450°；即一个圆和一个四分之一。由此我们可以看出，双曲平面内的三角形的角度之和必须小于180°。另一个可见的属性是指数式增长。例如，在《圆周率IV》中，我们可以看到，在离中心n的距离内，天使和魔鬼的数量呈指数级增长。恶魔的双曲面积相等，所以半径为n的球的面积一定是以指数形式上升的n。

有几种方法可以在物理上实现双曲平面（或其近似值）。一个特别著名的基于伪球体的纸上模型是由威廉-瑟斯顿（William Thurston）制作的。钩织艺术已经被用来演示双曲平面，第一个是由Daina Taimina制作的。2000年，Keith Henderson展示了一个快速制作的纸质模型，被称为 "双曲足球"。