狭义相对论的数学基础是洛伦兹变换，洛伦兹变换在数学上描述了两个相对运动但没有经历加速的观察者的空间和时间观点。
为了定义变换，我们使用笛卡尔坐标系来数学地描述"事件"的时间和空间。
每个观察者都可以用坐标（x,y,z,t）来描述一个事件，即某一时间某物在空间的位置。
事件的位置定义在前三个坐标(x,y,z)与任意中心(0,0,0)的关系上，因此(3,3,3)是一条对角线，在每个方向上都有3个单位的距离(如米或英里)。
事件的时间是用第四坐标t与某个时间单位（如秒或小时或年）的任意（0）点的关系来描述的。
让有一个观察者K用时间坐标t来描述事件发生的时间，用空间坐标x、y、z来描述事件发生的地点，这就是在数学上定义了第一个观察者，他的"视点"将是我们的第一参考。
我们规定一个事件的时间给定：由观察到的时间t(观察到的)(比如今天12点)减去观察到的时间。
这可以计算为从观测者到事件的距离d(观测到的)(比如事件发生在1光年外的恒星上，所以光需要1年才能到达观测者)除以c，即光速(每小时几百万英里)，我们将其定义为对所有观测者都一样。
这是对的，因为距离除以速度，给出了以该速度走该距离所需的时间（如30英里除以10英里/小时：给我们3小时，因为如果你以10英里/小时的速度走3小时，你就到达30英里）。所以我们有：
t = d / c {/displaystyle t=d/c}。 
这在数学上定义了任何"时间"对任何观察者的意义。
现在，有了这些定义，让另一个观察者K'，他是
- 沿K的x轴以v的速度移动。
- 具有x'、y'和z'的空间坐标系。
这就意味着，当K'给出一个类似（3,1,2）的位置时，x（在本例中是3）与第一个观察者K所说的位置是一样的，但y轴上的1或z轴上的2只是平行于K'观察者坐标系上的某个位置，而
这意味着坐标(0,0,0,0)对两个观察者来说是同一个事件。
换句话说，两个观察者都有（至少）一个他们都同意的时间和地点，也就是地点和时间零点。
那么洛伦兹变换是
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}。 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}。 
y ′ = y {/displaystyle y'=y}。
和
z ′ = z {displaystyle z'=z
} .
定义一个事件在系统S中具有时空坐标（t,x,y,z），在参考框架中具有（t′,x′,y′,z′），相对于该框架S′以速度v运动。那么洛伦兹变换规定这些坐标的关系如下：是洛伦兹系数，c是真空中的光速，S′的速度v与x轴平行。为简单起见，y和z坐标不受影响，只对x和t坐标进行变换。这些洛伦兹变换构成了一个单参数的线性映射组，这个参数称为快速度。
求解上述四个无质坐标的变换方程，可得逆洛伦兹变换。
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ 。{\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
强制这个逆洛伦兹变换，使之与洛伦兹变换从原初系统到非原初系统相吻合，显示非原初框架以原初框架中测得的速度v′=-v运动。
x轴没有什么特别之处。变换可以适用于y轴或z轴，实际上也可以适用于任何方向，可以通过平行于运动的方向（被γ因子扭曲）和垂直于运动的方向来完成，详见洛伦兹变换一文。
在洛伦兹变换下不变的量称为洛伦兹标量。
用坐标差写出洛伦兹变换及其反，其中一个事件的坐标为（x1，t1）和（x′1，t′1），另一个事件的坐标为（x2，t2）和（x′2，t′2），差值定义为
式1：Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ ，Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ 。{displaystyle Δx'=x'_{2}-x'_{1}/ ，Δt'=t'_{2}-t'_{1}/ 。} 
公式2：Δ x = x 2 - x 1 ，Δ t = t 2 - t 1 。{displaystyle ΔΔx=x_{2}-x_{1} ,ΔΔt=t_{2}-t_{1} .} 
我们得到
式3：Δ x ′ = γ（Δ x - v Δ t） ，{displaystyle ΔΔ x'=gamma Δ（ΔΔ x-v,ΔΔ t） Δ ,Δ }。
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) 。{displaystyle Δt'=/gamma Δleft(Δt-v Δx/c^{2}/right)\\ 。} 
式4：Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {/displaystyle ΔDelta x=/gamma Δ(ΔDelta x'+v,ΔDelta t'),Δ }。
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) 。{displaystyle ΔΔ t=gamma Δleft(ΔΔ t'+v ΔΔ x'/c^{2}/right)/ 。} 
如果我们取微分而不是取差分，我们得到的是
Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) .{displaystyle dt'=gamma \ \left(dt-v/dx/c^{2}right)\ ．} 
Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,}
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) .{displaystyle dt=\gamma \left(dt'+v\ dx'/c^{2}right)\ .} 
