狭义相对论

狭义相对论的基础知识

假设你正向着一个正在向你移动的东西移动，如果你测量它的速度，它看起来会比你没有移动时更快。如果你测量它的速度，它看起来会比你不动时更快。现在，假设你正在远离向你移动的东西，如果你再次测量它的速度，它将看起来比你不动时移动得更慢。如果你再次测量它的速度，它看起来会移动得更慢。这就是"相对速度"的概念--物体相对于你的速度。

在爱因斯坦之前，科学家们正试图测量光的"相对速度"。他们是通过测量到达地球的星光速度来实现的。他们预计，如果地球向着一颗恒星移动，那么从那颗恒星发出的光应该比地球远离那颗恒星的速度更快。然而，他们注意到，不管是谁做的实验，在哪里做的实验，或者使用的是什么星光，在真空中测得的光速总是相同的。

爱因斯坦说，之所以会发生这种情况，是因为长度和持续时间，或者说某种东西持续的时间有一些意想不到的东西。他认为，当地球在太空中移动时，所有可测量的持续时间都会发生非常微小的变化。任何用来测量持续时间的时钟都会有恰好的误差，这样光速就会保持不变。想象一个"光钟"，可以让我们更好地理解这个对于单一光波情况下的显著事实。

另外，爱因斯坦还说过，当地球在空间中移动时，所有可测量的长度都会发生变化（微乎其微）。任何测量长度的设备都会给出一个恰到好处的长度偏差，从而使光速保持不变。

最难理解的是，在一帧中看似同时发生的事件，在另一帧中却未必是同时发生的。这有许多不容易察觉或理解的影响。由于一个物体的长度是在一个同时时刻从头到尾的距离，因此，如果两个观察者对什么事件是同时发生的有不同意见，那么这将影响（有时是戏剧性的）他们对物体长度的测量。此外，如果一排时钟对一个静止的观察者来说似乎是同步的，而对同一个观察者来说，在加速到一定速度后又显得不同步，那么由此可见，在加速过程中，时钟以不同的速度运行。有的甚至可能是反向运行的。这条推理就可以得出广义相对论。

在爱因斯坦之前的其他科学家都曾写过光无论怎么观测，速度似乎都是一样的。爱因斯坦的理论之所以具有革命性的意义，是因为它认为光速的测量定义是恒定的，换句话说，它是一种自然规律。这有一个显著的意义，那就是与速度有关的测量，长度和持续时间都会发生变化，以适应这种情况。

洛伦兹变换

狭义相对论的数学基础是洛伦兹变换，洛伦兹变换在数学上描述了两个相对运动但没有经历加速的观察者的空间和时间观点。

为了定义变换，我们使用笛卡尔坐标系来数学地描述"事件"的时间和空间。

每个观察者都可以用坐标（x,y,z,t）来描述一个事件，即某一时间某物在空间的位置。

事件的位置定义在前三个坐标(x,y,z)与任意中心(0,0,0)的关系上，因此(3,3,3)是一条对角线，在每个方向上都有3个单位的距离(如米或英里)。

事件的时间是用第四坐标t与某个时间单位（如秒或小时或年）的任意（0）点的关系来描述的。

让有一个观察者K用时间坐标t来描述事件发生的时间，用空间坐标x、y、z来描述事件发生的地点，这就是在数学上定义了第一个观察者，他的"视点"将是我们的第一参考。

我们规定一个事件的时间给定：由观察到的时间t_{(观察到的)}(比如今天12点)减去观察到的时间。

这可以计算为从观测者到事件的距离d_{(观测到的)}(比如事件发生在1光年外的恒星上，所以光需要1年才能到达观测者)除以c，即光速(每小时几百万英里)，我们将其定义为对所有观测者都一样。

这是对的，因为距离除以速度，给出了以该速度走该距离所需的时间（如30英里除以10英里/小时：给我们3小时，因为如果你以10英里/小时的速度走3小时，你就到达30英里）。所以我们有：

t = d / c {/displaystyle t=d/c}。

这在数学上定义了任何"时间"对任何观察者的意义。

现在，有了这些定义，让另一个观察者K'，他是

• 沿K的x轴以v的速度移动。
• 具有x'、y'和z'的空间坐标系。

 

这就意味着，当K'给出一个类似（3,1,2）的位置时，x（在本例中是3）与第一个观察者K所说的位置是一样的，但y轴上的1或z轴上的2只是平行于K'观察者坐标系上的某个位置，而

• 其中K和K'在t=t'=0处重合。

这意味着坐标(0,0,0,0)对两个观察者来说是同一个事件。

换句话说，两个观察者都有（至少）一个他们都同意的时间和地点，也就是地点和时间零点。

那么洛伦兹变换是

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}。

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}。

y ′ = y {/displaystyle y'=y}。和

z ′ = z {displaystyle z'=z} .

定义一个事件在系统S中具有时空坐标（t,x,y,z），在参考框架中具有（t′,x′,y′,z′），相对于该框架S′以速度v运动。那么洛伦兹变换规定这些坐标的关系如下：是洛伦兹系数，c是真空中的光速，S′的速度v与x轴平行。为简单起见，y和z坐标不受影响，只对x和t坐标进行变换。这些洛伦兹变换构成了一个单参数的线性映射组，这个参数称为快速度。

求解上述四个无质坐标的变换方程，可得逆洛伦兹变换。

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ 。{\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

强制这个逆洛伦兹变换，使之与洛伦兹变换从原初系统到非原初系统相吻合，显示非原初框架以原初框架中测得的速度v′=-v运动。

x轴没有什么特别之处。变换可以适用于y轴或z轴，实际上也可以适用于任何方向，可以通过平行于运动的方向（被γ因子扭曲）和垂直于运动的方向来完成，详见洛伦兹变换一文。

在洛伦兹变换下不变的量称为洛伦兹标量。

用坐标差写出洛伦兹变换及其反，其中一个事件的坐标为（_x1，_t1）和（x′₁，t′₁），另一个事件的坐标为（x2，_t2）和（x′₂，t′₂），差值定义为

式1：Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ ，Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ 。{displaystyle Δx'=x'_{2}-x'_{1}/ ，Δt'=t'_{2}-t'_{1}/ 。}

公式2：Δ x = x 2 - x 1 ，Δ t = t 2 - t 1 。{displaystyle ΔΔx=x_{2}-x_{1} ,ΔΔt=t_{2}-t_{1} .}

我们得到

式3：Δ x ′ = γ（Δ x - v Δ t） ，{displaystyle ΔΔ x'=gamma Δ（ΔΔ x-v,ΔΔ t） Δ ,Δ }。Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) 。{displaystyle Δt'=/gamma Δleft(Δt-v Δx/c^{2}/right)\\ 。}

式4：Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {/displaystyle ΔDelta x=/gamma Δ(ΔDelta x'+v,ΔDelta t'),Δ }。Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) 。{displaystyle ΔΔ t=gamma Δleft(ΔΔ t'+v ΔΔ x'/c^{2}/right)/ 。}

如果我们取微分而不是取差分，我们得到的是

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) .{displaystyle dt'=gamma \ \left(dt-v/dx/c^{2}right)\ ．}

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,} d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) .{displaystyle dt=\gamma \left(dt'+v\ dx'/c^{2}right)\ .}

质量、能量和动量

在狭义相对论中，动量p {displaystyle p}和总能量E {displaystyle E}的物体作为其质量m {displaystyle m}的函数是：

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}}。

和

E=m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={/frac {mc^{2}}{/sqrt {1-{/frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}。.

一个经常犯的错误（也是在一些书中）是重写这个方程使用"相对论质量"（在运动方向）m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}。.之所以不正确，是因为比如说光没有质量，但有能量。如果我们用这个公式，光子（光的粒子）有质量，根据实验，这是不正确的。

在狭义相对论中，物体的质量、总能量和动量由以下公式联系起来

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}。.

对于一个静止的物体，p=0 {displaystyle p=0}所以上式简化为E=m c 2 {displaystyle E=mc^{2}}。.因此，一个巨大的物体在静止时仍然有能量。我们称这种静止能量为E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}}。.

历程

狭义相对论的必要性源于1865年发表的麦克斯韦电磁学方程。后来发现，这些方程要求电磁波（如光）以恒定的速度（即光速）运动。

为了使詹姆斯-克拉克-麦克斯韦的方程既符合天文观测结果^[1]，又符合牛顿物理学，^[2]麦克斯韦在1877年提出光在宇宙中无处不在的乙醚中传播。

1887年，著名的Michelson-Morley实验试图探测地球运动产生的"乙醚风"。^[3]这个实验持续的无效结果使物理学家们感到困惑，并对乙醚理论提出了质疑。

1895年，洛伦兹和菲茨杰拉德指出，米歇尔森-莫利实验的无效结果可以用乙醚风在乙醚的运动方向上收缩实验来解释。这种效应被称为洛伦兹收缩，（没有乙醚）是狭义相对论的结果。

1899年，洛伦兹首次发表了洛伦兹方程。虽然这不是它们第一次被发表，但这是它们第一次被用来解释米歇尔森-莫利的空结果，因为洛伦兹收缩是它们的结果。

1900年，波恩卡雷发表了一篇著名的演讲，他认为有可能需要一些"新的物理学"来解释米歇尔森-莫利实验。

1904年，洛伦兹证明了电场和磁场可以通过洛伦兹变换相互改变。

1905年，爱因斯坦在《物理学年鉴》上发表了介绍狭义相对论的文章《论运动体的电动力学》。在这篇文章中，他提出了相对论的假设，并从中推导出洛伦兹变换，（不知道洛伦兹1904年的文章）还展示了洛伦兹变换如何影响电场和磁场。

后来在1905年，爱因斯坦又发表了一篇文章，提出E=^mc2。

1908年，马克斯-普朗克认可了爱因斯坦的理论，并将其命名为"相对论"。同年，赫尔曼-闵科夫斯基发表了著名的《空间与时间》演讲，他在演讲中表明相对论是自洽的，并进一步发展了该理论。这些事件迫使物理学界认真对待相对论。此后，相对论被越来越多的人接受。

1912年，爱因斯坦和洛伦兹因在相对论方面的开创性工作而被提名为诺贝尔物理学奖得主。遗憾的是，相对论当时争议很大，而且在很长一段时间内一直存在争议，以至于诺贝尔奖一直没有授予它。

实验性确认

• Michelson-Morley实验，未能根据光的运动方向检测出光速的任何差异。
• 菲佐的实验，不能使光在运动的水中的折射率小于1，观察到的结果是用加速度的相对论规则来解释的。
• 光的能量和动量服从方程E=p c {\displaystyle E=pc}。(在牛顿物理学中，这预计是E = 1 2 p c {displaystyle E={/begin{matrix}{frac {1}{2}}/end{matrix}}pc} .)
• 横向多普勒效应，即快速运动的物体发出的光由于时间膨胀而发生红移。
• 在地球表面的高层大气中产生的μ子的存在。问题是，即使以接近光速的速度，也需要比μ子的半衰期长得多的时间才能到达地球表面。它们的存在可以被看作是由于时间膨胀（在我们看来）或到地球表面的距离长度收缩（在μ子看来）。
• 如果不考虑相对论物理学的因素，就无法建造粒子加速器。

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