馬克士威方程組

麦克斯韦方程的经典形式

命名	微分形式	积分形式
高斯定律。	∇ ⋅ D = ρ {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }	∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D｝\ǞǞ =INT _{V}\rho Ǟ dV
磁学的高斯定律 （没有磁单极）。	∇ ⋅ B = {0displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}。	∮ S B ⋅ d A = {0displaystyle\oint _{S}\mathbf {B}\cdot d\mathbf {A} =0}。
法拉第的感应定律。	∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{frac {partial \mathbf {B}}}}{partial t}}.}{partial t}}。	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d A {displaystyle 点 _{C}\mathbf {E }\cdot d\mathbf {l}-oint _{C}\mathbf {B} --oint _{C}\mathbf {E}。\times \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l}}=- {d over dt}\int _{S}\mathbf {B}}。\cdot d\mathbf {A}}
安培定律 （有麦克斯韦的扩展）。	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial \D}}.+{frac {partial \mathbf {D}}}{partial t}}.}{partial t}}。	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle 点 _{C}\mathbf {H｝\cdot d\mathbf {l} =oint _{S}\mathbf {J} =int _{S}\mathbf {J}。cdot d\mathbf {A} =int _{S}\mathbf {J}.+int _{S}{frac {partial\mathbf {D}}}{partial t}}.}{partial t}}\cdot d\mathbf {A}}

其中，下表中提供了每个符号的含义和SI计量单位。

符号	意义	SI测量单位
E {displaystyle mathbf {E}.}	电场	每米电压
H {displaystyle mathbf {H}.}	磁场强度	每米安培
D {displaystyle mathbf {D}}	电位移场	库仑/平方米
B {displaystyle mathbf {B}}	磁通量密度 也称为磁感应强度。	特斯拉，或等效的。 每平方米韦伯
ρ {displaystyle \rho \rho }	自由电荷密度， 不计入束缚在材料中的偶极电荷。	库仑/立方米
J {displaystyle mathbf {J}{J}.}	自由电流密度。 不计入束缚在材料中的极化或磁化电流。	每平方米安培
d A {displaystyle dmathbf {A}{A}}.}	表面积为A的微分矢量元素，幅度非常小 ，方向为表面S的 法线	平方米
d V {displaystyle dV\ }	被表面S包围的体积为V的微分元素	立方米
d l {displaystyle dmathbf {l}}	与轮廓C相切的路径长度的微分向量元素，包围着表面的c	仪表
v {displaystyle mathbf {v} }	线路元素d l的瞬时速度{displaystyle d\mathbf {l}}。}的定义（对于移动电路）。	米/秒

和

∇ ⋅ {displaystyle\nabla\cdot }是发散算子（SI单位：每米1）。

∇ × {displaystyle\nabla\times }是curl算子（SI单位：1/米）。

方程的含义

电荷密度和电场

∇ ⋅ D = ρ {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho },

其中ρ {displaystyle {rho }}是自由电荷密度（以C³/m为单位），不包括绑定在材料中的偶极电荷，而D {displaystyle \mathbf {D}是电位移场（以C/m为单位）。}是电位移场（以C/m为单位²）。这个方程就像真空中非移动电荷的库伦定律。

下一个积分形式（根据发散定理），也被称为高斯定律，说的是同样的事情。

∮ A D ⋅ d A = Q enclosed {\displaystyle\oint _{A}\mathbf {D}.\cdot d\mathbf {A} =Q_{text{enclosed}}。

d A {displaystyle dmathbf {A}是封闭面A上的微分方块的面积。}是闭合表面A上的微分方块的面积。表面法线指向外是方向，Q封闭{displaystyle Q_{text{enclosed}}是在表面内的自由电荷。

在线性材料中，D {displaystyle \mathbf {D}与电场E {displaystyle \mathbf {E}直接相关。}与电场E {displaystyle\mathbf {E}直接相关。ε {displaystyle \varepsilon }与一个常数有关，这个常数被称为允许率。｝(这个常数对于不同的材料是不同的）。

D = ε E {displaystyle\mathbf {D} =\varepsilon\mathbf {E} }。}.

如果电场不是很强，你可以假装一种材料是线性的。

自由空间的介电常数被称为ε {0displaystyle\varepsilon _{0}} 。，并在此方程中使用。

∇ ⋅ E = ρ t ε {\0displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={frac {\rho _{t}{varepsilon _{0}}}}

这里E {displaystyle mathbf {E}是电场（单位为V/m）。}又是电场（单位为V/m），ρ t {\displaystyle \rho _{t}}是总电荷密度（包括束缚电荷），ε {\0displaystyle \varepsilon _{0}}是自由空间的电容。(大约8.854 pF/m）是自由空间的介电常数。我们也可以把ε {displaystyle \varepsilon }写成ε 0⋅ ε r {displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}}。.这里，ε r {displaystyle \varepsilon _{r}}是与自由空间的允许率相比，材料的允许率。这被称为相对介电率或介电常数。

另见泊松方程。

磁场的结构

∇ ⋅ B = {0displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}。

B {displaystyle mathbf {B}是磁通密度（单位为特斯拉，T）。}是磁通密度（以特斯拉为单位，T），也叫磁感应。

接下来的这个积分表说的是同样的事情。

∮ A B ⋅ d A = {0displaystyle\oint _{A}\mathbf {B} \cdot dmathbf {A} =0}。\cdot d\mathbf {A} =0}。

d A {displaystyle d\mathbf {A}的面积是表面A {displaystyle A}上的微分平方的面积。}的面积是表面A {displaystyle A}上的一个微分方块的面积。d A {displaystyle d\mathbf {A}的方向是在A {displaystyle A}上向外的法线。}是A {displaystyle A}表面上向外的法线。

这个方程只有在封闭的表面上进行积分时才有效。这个方程说，在每个体积中，进入的磁场线之和等于出去的磁场线之和。这意味着磁场线必须是闭环的。另一种说法是，磁场线不能从某个地方开始。这是数学上的一种说法。"不存在磁单极"。

变化的磁通量和电场

∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{frac {partial \mathbf {B}}}}{partial t}}.}{partial t}}。

接下来的这个积分表说的是同样的事情。

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\displaystyle\oint _{s}\mathbf {E｝\cdot d\mathbf {s} =-{frac {dPhi _{mathbf {B}}}{dt}}}}

这里Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\displaystyle\Phi _{mathbf {B} }=int _{A}\mathbf {B} ⋅ d A}=int _{A}\mathbf {B}}。\cdot d\mathbf {A}}

这就是这些符号的含义。

Φ_B是通过第二个方程描述的区域A的磁通量。

E是磁通量引起的电场。

s是一个封闭的路径，其中有电流感应，例如一根电线。

v是线元件的瞬时速度（对于移动电路）。

电动势等于这个积分的值。有时这个符号被用来表示电动势。E {displaystyle {mathcal {E}}} ，不要把它与之前使用的介电常数符号混淆。，不要把它与之前使用的许可率的符号混淆。

这个定律就像法拉第的电磁感应定律。

一些教科书显示积分形式的右手符号在磁通量导数前面有一个N（N是围绕A边缘的线圈数量）。N可以在计算A时加以注意（多个线圈意味着有多个表面供磁通量通过），而且它是一个工程细节，所以这里就不提了。

负号是能量守恒的需要。它是如此重要，以至于它甚至有自己的名字，伦茨定律。

这个方程式显示了电场和磁场是如何相互作用的。例如，这个方程式解释了电动机和发电机的工作原理。在电机或发电机中，场电路有一个固定的电场，引起一个磁场。这就是所谓的固定励磁。变化的电压是在电枢电路上测量的。麦克斯韦方程是在一个右手坐标系中使用的。为了在左手系统中使用它们，在不改变方程的情况下，必须使磁场的极性相反（这并没有错，但令人困惑的是，它通常不是这样做的）。

磁场的来源

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial \D}}.+{frac {partial \mathbf {D}}}{partial t}}.}{partial t}}。

H是磁场强度（以A/m为单位），你可以通过将磁通量B除以一个叫做磁导率的常数μ（B=μH）得到，J是电流密度，定义为：。

J = ∫ρ_qvdA

v是一个称为漂移速度的矢量场。它描述了电荷载体的速度，其密度由标量函数ρ_q描述。

在自由空间中，磁导率μ是自由空间的磁导率μ₀，根据定义，正好是4π×10 W/⁻⁷A-m。另外，允许率是自由空间的允许率ε₀。 因此，在自由空间中，公式为：。

∇ × B = μ J0 + μ 0ε 0∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial \mathbf {E} ∂ t+mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial `mathbf {E}}{partial t}}.}{partial t}}。

下一个积分表说的是同样的事情。

∮ s B ⋅ d s = μ I0 encircled + μ 0ε 0∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle doint _{s}\mathbf {B}\cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{text{encircled}+mu _{0}\varepsilon _{0}int _{A}{frac {partial `mathbf {E}}{partial t}}.}{partial t}}cdot d\mathbf {A}}

s是开放曲面A的边缘（任何以曲线s为边缘的曲面在此都可以），_Iencircled是曲线s所包围的电流（通过任何曲面的电流由公式定义。_Ithrough = ∫J-_AAdA）。

如果电通量密度变化不大，那么右侧的第二项（位移通量）就非常小，可以不计入，然后该方程就与安培定律相同。

协变式

只有两个协变麦克斯韦方程，因为协变场矢量包括电场和磁场。

数学说明：在本节中，将使用抽象的索引符号。

在狭义相对论中，麦克斯韦的真空方程是以四向量和张量的 "显性协变 "形式来写的。这样做是为了更清楚地表明这样一个事实：麦克斯韦方程（在真空中）在任何惯性坐标系中都采取同样的形式。这就是 "明显协变 "形式。

J b = ∂a F a b {displaystyle J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\, \!},

和

0= ∂c F a b + ∂b F c a + ∂a F b c {\displaystyle 0=partial _{c}F_{ab}+partial _{b}F_{ca}+partial _{a}F_{bc}}。

第二个方程与之相同。

0=ε d a b c ∂a F b c {\displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}partial ^{a}F^{bc}\,\!}

这里J a {displaystyle \J^{a}}是4电流，F a b {displaystyle \F^{ab}}是场强张量（写成4×4矩阵），ε a b c d {displaystyle \varepsilon _{abcd}}是Levi-Civita符号。and ∂ a = ( ∂ / ∂ c t ,∇ ) {\displaystyle \partial _{a}=(\partial /partial ct,\nabla )}是4梯度（因此，∂ a ∂ a {displaystyle \partial _{a}\partial ^{a}是d'Alembertian算子）。(根据爱因斯坦的符号，第一个方程中的a {displaystyle a}隐含地被加起来了）。第一个张量方程与两个不均匀的麦克斯韦方程说的是同一件事。高斯定律和安培定律加上麦克斯韦的修正。第二个方程与另外两个方程，即同质方程说的是同一件事。法拉第的感应定律和没有磁单极的情况。

J a {displaystyle `,J^{a}}也可以通过这个方程更明确地描述。J a = ( c ρ , J → ) {displaystyle J^{a}=, (c\rho ,{vec {J}})}（作为一个禁变量矢量）。(作为一个禁忌矢量），你从电荷密度ρ和电流密度J → {\displaystyle {\vec {J}}中得到J a {displaystyle \,J^{a}}。4个电流是连续性方程的一个解决方案。

J a , a = {0displaystyle J^{a}{}_{,a}\,=0}

就4势（作为一个禁忌矢量）而言，A a = ( ϕ , A → c ) {\displaystyle A^{a}=\left(\phi ,{\vec {A}}c\right)} ，其中φ是电势，A → {\displaystyle {vec {A}} 是洛伦兹规的磁矢量势。其中，φ是电势，A → {displaystyle {vec {A}}是洛伦兹规中的磁矢量势（ ∂ a A a = ） {0displaystyle `left(\partial _{a}A^{a}=0\right)}，F可写成｝，F可以写成。

F a b = ∂b A a - ∂a A b {\displaystyle F^{ab}=partial ^{b}A^{a}-partial ^{a}A^{b}\, \!}

这导致了4×4矩阵的秩-2张量。

F a b = (0 - E x c - E y c - E z c E x c 0- B z B y E y c B z0 - B x E z c - B y B x )0 。{displaystyle F^{ab}==left({begin{matrix}0&-{frac {E_{x}}{c}}&-{frac {E_{y}}{c}}&-{frac {E_{z}}{c}}&-{frac {E_{x}}{c}}&)0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).}

电场和磁场合并成一个张量的事实表明，根据相对论，这两者是同一事物的不同部分--通过改变参照系，在一个参照系中看起来像电场的东西，在另一个参照系中看起来像磁场，反之亦然。

使用麦克斯韦方程的张量形式，第一个方程意味着

◻ F a b = {\0displaystyle\Box F^{ab}=0}（参见电磁四势，了解四势的达勒姆波特和四电流之间的关系，用旧的矢量算子符号表示）。

不同的作者有时对这些张量和4-向量使用不同的符号约定（但这并不改变它们的含义）。

F a b {displaystyle `F^{ab}}和F a b {displaystyle `F_{ab}}是不一样的：它们是由闵可夫斯基公转张量η {displaystyle `eta }关系的：F a b = η a c η b d F c d {displaystyle F_{ab}=，`ac`eta _{bd}F^{cd}}。.这改变了F的一些分量的符号；在广义相对论中可以看到更复杂的度量二重性。