在维尔纳-海森堡创造了新的量子物理学之后不久，一些意想不到的东西就从他的数学中出现了，这个表达式。
Δ x Δ p ↪Sm_2273↩ h 4 π {\displaystyle \Delta x,\Delta pgtrsim {\frac {h}{4\pi }}\qquad \qquad \qquad }。 
位置的误差范围(x)乘以动量的误差范围(p)大约等于或大于普朗克常数除以4π。
这些符号把你在上面的图片中已经看到的东西用数学的形式表现出来。这些符号清楚地说明，你不可能完全确定某样东西在哪里，它要去哪里。如果你在任何时候都能更清楚地知道它在哪里，那么你就不太清楚它要去哪里，速度有多快。如果你在任何时候都能更清楚地知道它的去向和速度，那么你就不会对它现在的位置有太多的想法。
科学家们已经知道了为什么某些物质在加热或以其他方式激发时，会发出特有的光色。海森堡正试图解释为什么这些颜色各有一个特征性的亮度。如果他和其他科学家只是说："嗯，就是这样"，那就不够好。他们确信，这些差异一定有一个很好的理由，也有一个事实，那就是每一种元素的样本中，亮线强度的比例总是相同的。
当他开始探索每种元素特有的彩线强度的解释时，他不知道自己会碰上一个隐藏的自然秘密。量子力学的研究已经表明，为什么氢在人类能看到的光谱部分有四条亮线。看来接下来要学习的一定是如何计算它们的亮度而已。氢似乎是一个明显的起点，因为氢只有一个电子要处理，在光谱的可见部分只有四条线。当然，它们的亮度不一样肯定有一个很好的原因。氖和其他元素的不同颜色线的亮度的解释可以等待。
海森堡是通过改编电学经典方程开始研究量子物理学的，而电学经典方程一开始就非常复杂，所以他1925年的论文背后的数学非常难懂。
他试图找到正确的方法来计算氢灯光谱中亮线的强度。他必须找到一个叫做"振幅"的相关量，然后用振幅乘以振幅（或者换句话说，他必须用振幅的平方来计算），以得到他想要的强度。他必须想出如何用一种方式来表达振幅，以考虑到氢灯并不是在所有频率上都能辐射，也不是在人们能看到的频谱部分的连续频率范围内辐射。海森堡发现了一种了不起的计算振幅的新方法。
海森堡发现并用来做一个量子量（如位置）与另一个量子量（如动量）相乘的奇异方程|方程发表在被称为"海森堡1925年7月的'神奇'论文"中。
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n,n-b)=/sum _{a}^{}/,A(n,n-a)B(n-a,n-b)}。 
上面的数学看起来非常难，但前面的数学却非常难，非常难理解。这里给出的只是为了说明它的样子。海森堡的论文是一个历史性的里程碑。许多读过他的论文的物理学家都说，他们不能不同意他的结论，但他们不能按照他的解释去理解他是如何得到这些结论的。海森堡使用的开始方程涉及到傅里叶数列，涉及到很多因素。我们会回到上面的方程，因为它是一种写出和乘出矩阵的秘诀。
新的方程必须如此奇怪和不寻常，因为海森堡所描述的是一个奇怪的世界，在这个世界里，有些东西，如电子的轨道，不会慢慢变大或变小。新型的变化涉及跳跃和跳跃之间的大间隙。电子只能在一定的轨道之间跳跃，而轨道之间变化所获得或失去的能量，是在吸收一个合适能量的光子或产生一个合适能量的新光子时产生的。如果氢原子中的电子最常在两个特定轨道之间向下跳（落），那么在该能级上发射的光子就会更多，所以在该能级上产生的光就会最强。
要使为连续光谱（当你把太阳光通过棱镜时看到的）建立的方程适合那些只有几个峰值频率的光谱，而这些频率之间没有任何东西。几乎所有已经学到的关于光和能量的知识都是用燃烧的蜡烛或太阳等大型物体来完成的，那些大型物体都会产生连续光谱。尽管这些普通大小的东西很容易做实验，但要弄清楚支配它们的规律(物理学)法则还是花了很长时间。现在，物理学家们面对的是太小的东西，看不到的东西，不产生连续光谱的东西，他们试图从已有的知识中找到一种方法，至少可以得到线索，帮助他们找到这些小的、有间隙的光源的规律。
最初的方程处理的是一种会产生波的振动体，有点像风琴中的簧片会产生具有特征频率的声波。因此，有一个前后运动（就像芦苇的振动），有一个发射的波，可以绘制成正弦波。早先在原子层面上所弄清的物理学知识，大多与电子绕核运动有关。当一个质量在轨道上运动时，当它围绕着某种中心旋转时，它就会有所谓的"角动量"。角动量是指像旋转木马这样的东西在人们停止推动它之后，会继续旋转的方式。相位计算和角动量所用的数学很复杂。最重要的是，海森堡在1925年的论文中并没有展示他所有的计算结果，所以即使是优秀的数学家也可能难以填出他没有说的内容。
尽管很多物理学家都说搞不懂海森堡突破性论文中的各种数学步骤，但最近一篇试图解释海森堡如何得到结果的文章却用了20页满满的数学篇幅。即使那篇文章也不容易理解。数学从一些非常难的东西开始，最终会产生一些相对简单的东西，就是本文最上面显示的。得到更简单的结果并不容易，我们不会试图展示从过时的宇宙图景到新的量子物理学的过程。我们只需要足够的细节来说明，几乎在海森堡取得突破的同时，宇宙如何运作的一部分，以前没有人见过的部分就出现在了我们的视野中。
海森堡一定非常兴奋，但也非常疲惫，当深夜，他终于取得了突破性的进展，并开始向自己证明，这将是有效的。几乎马上他就注意到了一些奇怪的东西，他以为是一个烦人的小问题，他可以用某种方法让它消失。但事实证明，这个小麻烦是一个大发现。
海森堡一直致力于用振幅乘以振幅，现在海森堡有了一个很好的方法，用他的新方程来表达振幅。他自然而然地想到了乘法，想到了如何将那些用复杂方程给出的东西相乘。
海森堡意识到，除了平方振幅之外，他最终还想用动量乘以位置，或者用时间乘以能量，看起来如果他把这些新情况下的顺序颠倒过来，就会有所区别。海森堡认为，是把位置乘以动量，还是把动量乘以位置，应该没有什么关系。如果它们只是简单的数字，就不会有问题。但它们都是复杂的方程，你如何把数字插入方程，结果是不同的，这取决于你从哪种方式开始。在自然界中，你必须先测量位置，然后再测量动量，否则就必须先测量动量，然后再测量位置，而在数学中，同样的一般情况也是如此。如果你想了解这些繁琐的细节，请参见英文维基百科文章Heisenberg's entryway to matrix mechanics！）。结果之间的微小但讨厌的差异是要保持的，不管海森堡多么希望它们会消失。
当时的海森堡还无法摆脱这一个小问题，但他已经筋疲力尽了，于是他把工作交给了他的直接上司马克斯-博恩，然后去度假了。
马克斯-博恩是一位了不起的数学家，他很快就看出，海森堡给他的方程是一种写矩阵的秘诀。博恩博士是当时少数几个对这种奇怪的数学感兴趣的人之一，大多数人认为这种数学没有什么用处。他知道矩阵是可以相乘的，所以做一个物理问题的核算所有的计算都可以通过一个矩阵乘以另一个矩阵来处理。只要能把一个复杂的程序用一种标准的、可以接受的形式表达出来，就能让工作变得更容易。也可能让其他人更容易接受。
Born是一个很好的数学家，他几乎马上意识到，换一个顺序乘两个矩阵会产生不同的结果，而且结果会相差很小。这个量将是h/2πi。在日常生活中，这个差别会小到我们根本看不出来。
