不确定性原理

图解

6.这个动画显示了宇宙不确定性本质的重要后果之一：电子的量子隧道。仔细看。每当有一点点通过障碍物的时候。


5.用弹簧秤悬吊中心缝隙，可以测量动量，但这样做会不可预测地移动缝隙，所以每个光子在中间位置的信息会丢失。


4.弹簧安装障碍物有一个小孔，使粒子挤过小孔，从而推动障碍物，拉伸弹簧，所以测量动量。但由于弹簧安装的障碍物会移动，我们就不太确定粒子穿过孔洞时的位置，衍射也会影响粒子在检测屏幕上的位置。


1.光子、电子和其他亚原子粒子在射穿大孔时，会出现一个锐利的焦点，但我们并不知道它们在中途的具体位置。


3.缩小孔洞，增加了光子在中间位置的确定性，但它从那里到右边检测屏的方向就会相应地变得更加不确定。焦点变得模糊。扩孔使光子最终都落在检测屏的中心，但这样一来，我们就不太清楚光子穿过中心屏障时的位置了。


2.缩小孔洞，使孔洞边缘的粒子路径弯曲（衍射），因此产生的光束会变得更大、更柔和。

人类是如何学习不确定性的？

在维尔纳-海森堡创造了新的量子物理学之后不久，一些意想不到的东西就从他的数学中出现了，这个表达式。

Δ x Δ p ↪Sm_2273↩ h 4 π {\displaystyle \Delta x,\Delta pgtrsim {\frac {h}{4\pi }}\qquad \qquad \qquad }。

位置的误差范围(x)乘以动量的误差范围(p)大约等于或大于普朗克常数除以4π。

这些符号把你在上面的图片中已经看到的东西用数学的形式表现出来。这些符号清楚地说明，你不可能完全确定某样东西在哪里，它要去哪里。如果你在任何时候都能更清楚地知道它在哪里，那么你就不太清楚它要去哪里，速度有多快。如果你在任何时候都能更清楚地知道它的去向和速度，那么你就不会对它现在的位置有太多的想法。

科学家们已经知道了为什么某些物质在加热或以其他方式激发时，会发出特有的光色。海森堡正试图解释为什么这些颜色各有一个特征性的亮度。如果他和其他科学家只是说："嗯，就是这样"，那就不够好。他们确信，这些差异一定有一个很好的理由，也有一个事实，那就是每一种元素的样本中，亮线强度的比例总是相同的。

当他开始探索每种元素特有的彩线强度的解释时，他不知道自己会碰上一个隐藏的自然秘密。量子力学的研究已经表明，为什么氢在人类能看到的光谱部分有四条亮线。看来接下来要学习的一定是如何计算它们的亮度而已。氢似乎是一个明显的起点，因为氢只有一个电子要处理，在光谱的可见部分只有四条线。当然，它们的亮度不一样肯定有一个很好的原因。氖和其他元素的不同颜色线的亮度的解释可以等待。

 

海森堡是通过改编电学经典方程开始研究量子物理学的，而电学经典方程一开始就非常复杂，所以他1925年的论文背后的数学非常难懂。

他试图找到正确的方法来计算氢灯光谱中亮线的强度。他必须找到一个叫做"振幅"的相关量，然后用振幅乘以振幅（或者换句话说，他必须用振幅的平方来计算），以得到他想要的强度。他必须想出如何用一种方式来表达振幅，以考虑到氢灯并不是在所有频率上都能辐射，也不是在人们能看到的频谱部分的连续频率范围内辐射。海森堡发现了一种了不起的计算振幅的新方法。

海森堡发现并用来做一个量子量（如位置）与另一个量子量（如动量）相乘的奇异方程|方程发表在被称为"海森堡1925年7月的'神奇'论文"中。

C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n,n-b)=/sum _{a}^{}/,A(n,n-a)B(n-a,n-b)}。

上面的数学看起来非常难，但前面的数学却非常难，非常难理解。这里给出的只是为了说明它的样子。海森堡的论文是一个历史性的里程碑。许多读过他的论文的物理学家都说，他们不能不同意他的结论，但他们不能按照他的解释去理解他是如何得到这些结论的。海森堡使用的开始方程涉及到傅里叶数列，涉及到很多因素。我们会回到上面的方程，因为它是一种写出和乘出矩阵的秘诀。

新的方程必须如此奇怪和不寻常，因为海森堡所描述的是一个奇怪的世界，在这个世界里，有些东西，如电子的轨道，不会慢慢变大或变小。新型的变化涉及跳跃和跳跃之间的大间隙。电子只能在一定的轨道之间跳跃，而轨道之间变化所获得或失去的能量，是在吸收一个合适能量的光子或产生一个合适能量的新光子时产生的。如果氢原子中的电子最常在两个特定轨道之间向下跳（落），那么在该能级上发射的光子就会更多，所以在该能级上产生的光就会最强。

要使为连续光谱（当你把太阳光通过棱镜时看到的）建立的方程适合那些只有几个峰值频率的光谱，而这些频率之间没有任何东西。几乎所有已经学到的关于光和能量的知识都是用燃烧的蜡烛或太阳等大型物体来完成的，那些大型物体都会产生连续光谱。尽管这些普通大小的东西很容易做实验，但要弄清楚支配它们的规律(物理学)法则还是花了很长时间。现在，物理学家们面对的是太小的东西，看不到的东西，不产生连续光谱的东西，他们试图从已有的知识中找到一种方法，至少可以得到线索，帮助他们找到这些小的、有间隙的光源的规律。

最初的方程处理的是一种会产生波的振动体，有点像风琴中的簧片会产生具有特征频率的声波。因此，有一个前后运动（就像芦苇的振动），有一个发射的波，可以绘制成正弦波。早先在原子层面上所弄清的物理学知识，大多与电子绕核运动有关。当一个质量在轨道上运动时，当它围绕着某种中心旋转时，它就会有所谓的"角动量"。角动量是指像旋转木马这样的东西在人们停止推动它之后，会继续旋转的方式。相位计算和角动量所用的数学很复杂。最重要的是，海森堡在1925年的论文中并没有展示他所有的计算结果，所以即使是优秀的数学家也可能难以填出他没有说的内容。

尽管很多物理学家都说搞不懂海森堡突破性论文中的各种数学步骤，但最近一篇试图解释海森堡如何得到结果的文章却用了20页满满的数学篇幅。即使那篇文章也不容易理解。数学从一些非常难的东西开始，最终会产生一些相对简单的东西，就是本文最上面显示的。得到更简单的结果并不容易，我们不会试图展示从过时的宇宙图景到新的量子物理学的过程。我们只需要足够的细节来说明，几乎在海森堡取得突破的同时，宇宙如何运作的一部分，以前没有人见过的部分就出现在了我们的视野中。

海森堡一定非常兴奋，但也非常疲惫，当深夜，他终于取得了突破性的进展，并开始向自己证明，这将是有效的。几乎马上他就注意到了一些奇怪的东西，他以为是一个烦人的小问题，他可以用某种方法让它消失。但事实证明，这个小麻烦是一个大发现。

海森堡一直致力于用振幅乘以振幅，现在海森堡有了一个很好的方法，用他的新方程来表达振幅。他自然而然地想到了乘法，想到了如何将那些用复杂方程给出的东西相乘。

海森堡意识到，除了平方振幅之外，他最终还想用动量乘以位置，或者用时间乘以能量，看起来如果他把这些新情况下的顺序颠倒过来，就会有所区别。海森堡认为，是把位置乘以动量，还是把动量乘以位置，应该没有什么关系。如果它们只是简单的数字，就不会有问题。但它们都是复杂的方程，你如何把数字插入方程，结果是不同的，这取决于你从哪种方式开始。在自然界中，你必须先测量位置，然后再测量动量，否则就必须先测量动量，然后再测量位置，而在数学中，同样的一般情况也是如此。如果你想了解这些繁琐的细节，请参见英文维基百科文章Heisenberg's entryway to matrix mechanics！）。结果之间的微小但讨厌的差异是要保持的，不管海森堡多么希望它们会消失。

当时的海森堡还无法摆脱这一个小问题，但他已经筋疲力尽了，于是他把工作交给了他的直接上司马克斯-博恩，然后去度假了。

马克斯-博恩是一位了不起的数学家，他很快就看出，海森堡给他的方程是一种写矩阵的秘诀。博恩博士是当时少数几个对这种奇怪的数学感兴趣的人之一，大多数人认为这种数学没有什么用处。他知道矩阵是可以相乘的，所以做一个物理问题的核算所有的计算都可以通过一个矩阵乘以另一个矩阵来处理。只要能把一个复杂的程序用一种标准的、可以接受的形式表达出来，就能让工作变得更容易。也可能让其他人更容易接受。

Born是一个很好的数学家，他几乎马上意识到，换一个顺序乘两个矩阵会产生不同的结果，而且结果会相差很小。这个量将是h/2πi。在日常生活中，这个差别会小到我们根本看不出来。

互相不相干的两个波。


氢谱


太阳的全视觉光谱。没有空隙。这张图显示的是各种频率的强度。


霓虹光谱


当某些分子被激发时，它们会发出特有的颜色。

关于不确定性的形式理论

虽然花了几年时间，但海森堡还是证明了不确定性原理，即Δx×Δp=h/2，这是从原始方程中得出的数字，但却漏掉了与相变有关的π和i。海森堡解释说，他在1927年写了一篇介绍这一理论的论文，他的不确定性原理就是从这个早期的结果中得出的。

写成h的常数，叫做普朗克常数，是一个经常出现的神秘数字，所以我们需要了解这个小小的数字是什么。在数值上，通常给出的是6.62607×10^-34 J s（焦耳秒）。所以它是一个涉及能量和时间的量。

当普朗克意识到一个完美的辐射体（称为黑体辐射体）的能量是以确定大小的单位发射的，称为"量子"（这个词的单数是"量子"）时，就发现了这个问题。辐射能量是以光子的形式发射的，光子的频率与它所发出的"冲力"成正比。我们对不同频率的可见光的体验是不同的颜色。在光谱的紫色端，每个光子的能量相对较大；在光谱的红色端，每个光子的能量相对较小。计算光子能量大小的方法是由公式E=hν（能量等于普朗克常数乘以"nu"或频率）给出的。

海森堡不确定性原理Δx×Δp≥h告诉我们，每当我们试图确定某些数对时，我们只能得到如此接近的结果，如果我们试图对其中的一个数进行更清晰的判断，即如果我们试图将Δx变小，使我们对某一事物的位置有更好的了解，那么我们将不得不为这对数中的另一个数交回一个更大的数，而这两个数的偏差量与h密切相关。

另一对物理量按照不确定性关系走：ΔE×Δt≥h，这对物理量除其他外，还表示，如果我们在星际空间，一些我们根本想不到的地方寻找，我们把Δt越减越接近0，那么为了保持方程所示的平衡，ΔE必须越来越大--突然间，就在那短暂的时间内，可以蹦出一些有动量的东西。

这种不确定性（缺乏确定性）如何解释？宇宙中到底发生了什么？人们常说，一个成功的新理论可以为所调查的现象提供新的信息。海森堡创建了一个数学模型，预测了氢的明线光谱的正确强度，但他无意中发现，某些对物理量透露出一种意想不到的不确定性。直到那一刻，没有人知道，测量不能永远变得越来越精确和准确。事实上，它们不可能被变得更确定，更确定，是一个惊人的新发现。许多人都不愿意接受这个事实。

玻尔和他的同事认为，光子、电子等在被测量之前，既没有位置，也没有动量。这种理论立场源于对不确定性的发现，而不仅仅是一些个人偏好上的相信。玻尔说，我们对光子或电子这样的东西一无所知，直到我们观察到它。为了观察这样一个小东西，我们需要以某种方式与它互动。在日常生活中，可以做一些事情，比如在汽车旁边行走，同时在人行道上画出的网格上记下汽车过点的次数。也许汽车本身的重量会压下人行道上的小杠杆，关闭连接在每个杠杆上的时钟，记录汽车的重量。最后我们就可以清楚地记录汽车在不同时间的位置，也可以计算出它的前进方向和重量。这样，我们就可以在时钟的任何时候知道它的位置和动量（它的速度乘以质量）。我们甚至不会想象，移动小杠杆所需的力会对汽车的前进有任何影响。我们也不会想象汽车在人行道上有杠杆的点之间没有位置和轨迹，也不会想象汽车在这些时间里以一种三维的模糊状态存在，只有在压下杠杆的时候才会安定下来。我们所熟悉的世界并没有显示出这些奇怪的交互作用。

要在最黑暗的夜里找到海上的一艘船，我们可以用探照灯，这种光不会干扰船的位置和行进方向，但用光来定位电子，就需要用一个或多个光子打它，每个光子都有足够的动量来干扰电子的位置和轨迹。用其他方法确定电子的位置，则需要用某种物理束缚住它，这也将终止它的前行。

为了确定光子的位置，在不终止光子前行的情况下，最好的办法就是让它穿过障碍物上的一个圆孔。如果知道光子发射的时间(例如由激光发射)和光子到达数码相机等探测屏幕的时间，那么就可以计算出走过这段距离所需的时间和光子通过该孔的时间。然而，为了允许光子通过它，圆孔的直径必须大于光子的大小。圆孔做得越小，我们就越接近知道光子通过圆孔时的准确位置。但是，我们永远无法知道光子当时是否偏离中心。如果孔的大小与光子完全相同，它就不会通过。随着孔的直径减小，光子离开孔时的动量或方向会发生越来越大的变化。

尼尔斯-玻尔和他的同事们认为，如果我们假设那些太小的东西是真实的，即使用显微镜也看不到的东西，我们只有在日常生活的尺度上才能证明。在日常生活中，事物在任何时候都有一个确定的位置。在原子尺度上，我们没有证据支持这个结论。在日常生活中，事物的发生有一个确定的时间。在原子尺度上，我们没有证据支持这个结论。在日常生活中，如果观察一个工厂，从第一天的夜班到第二天的白班，看到一辆成品汽车被推出运输码头，如果说无法判断它是在夜班还是在白班交货，那是没有意义的。但在原子尺度上，我们可以显示出一个光子在两个时间内产生的实例。如果这还不够糟糕的话，我们还可以展示一个光子是由两个相邻的激光器产生的实例）。

要找出原子尺度上发生的事情，部分困难在于，我们既想知道某物的位置，又想知道它的轨迹，而且想同时知道这两件事，但我们不能同时测量位置和轨迹。我们要么在一次测量光子或电子的动量，然后在没有任何超过必要的延迟的情况下测量它的位置，要么我们把事情换过来，先测量位置，再测量动量。问题是，在使第一个采取相当确定的形式时（通过以某种方式压低它），我们增加了下一次测量所涉及的不确定性。如果我们最初的测量是如此粗糙，以至于在每一次测量中都引入了大量的误差，那么我们可以通过使用较轻的触觉来改进每一次测量的事情，但我们永远无法超越一定的精度极限。

我们从日常生活中知道，如果用放在洗衣机上的浴室秤来称量东西的重量，在旋转周期中会产生不准确的结果，因为秤针会严重抖动。我们可以关掉洗衣机。但如果要进行非常精确的测量，我们发现附近经过的卡车会使指针抖动，所以我们可以把秤放在一个东西上，以隔绝外界的干扰。我们相信，我们可以消除振动，足以让我们得到我们想要的准确结果。我们从不考虑秤上的东西本身在振动，也不考虑它拥有无限的动量。

从不确定原理倒推，看起来好像任何原子尺度的东西其实都没有确定的位置和确定的动量，实验者只能在不确定原理所规定的限度内，强行把东西变成确定的。玻尔和他的同事们只是认为，如果不进行测量，我们就不可能知道任何事情，当进行测量时，我们可以把事物推向更确定的位置或更确定的动量的方向，但我们无法得到我们所希望的绝对的确定性或肯定性。但也有人认真对待这种可能性，并认为如果数学是正确的，那么在超小的世界里就不可能有确定性或确定性。科学的本质是，数学只是现实的模型，并不能保证它是一个正确的模型。

数学和数学所预测的事物的实际后果是非常可靠的，所以很难有异议，但数学对现实世界的说明却产生了几种不同的想法。在哥本哈根与尼尔斯-玻尔一起工作的科学家中，不确定性原理被认为是指在一个基本的层面上，物理宇宙并不是以确定性的形式存在。相反，它是一个概率或势能的集合。

与哥本哈根集团围绕数学编织的故事相对应的，还有其他故事，比如"多宇宙解释"说，根据量子理论，每次都有多种可能的结果，每个结果都发生在自己的新宇宙中。爱因斯坦认为，不存在多种可能的结果，所以只有一个宇宙，而且是确定的，也就是他所说的"上帝不玩骰子"。

如果h是尽可能小的能量，那么显示不同频率的光子所含能量的基本方程将不平衡。这将是错误的。

对不确定性原则的反对意见

爱因斯坦看到新的量子力学意味着在进行测量之前的时间内缺乏位置和动量，他强烈反对。他坚定地认为，事物在被测量之前就有确定的位置和确定的动量，测量一对事物中的一个，干扰了准确测量另一个的可能性，但这并不能说明事先缺少其中任何一个。他和他的两位同事写了一篇被称为"EPR论文"的文章。那篇论文认为，一定有一些特征确实决定了位置和动量，如果我们能看到它们，或者我们能得到它们的信息，那么我们就能从数学上知道和预测位置和动量。在很长一段时间里，人们认为没有办法证明或反驳对爱因斯坦来说是信仰的文章。这场争论是非常有成效的，因为它导致了缠论的所有现代发展。

在数学上，爱因斯坦被证明是错误的。1964年，约翰-斯图尔特-贝尔发展了一种数学方法，以区分两种粒子的行为，一种是具有确定的状态，只是对研究它们的两个人来说是未知的，另一种是具有纠缠状态，在被测量之前是不确定的或不确定的。他的方法表明，在两种不同的假设下，得到一定结果的概率是不同的。他的工作被称为贝尔定理或贝尔不等式。实验表明，自然界的行为正如贝尔所描述的那样。

通往不确定性的另一条途径

最初对海森堡不确定原理的讨论依赖于一个没有考虑电子、质子等物质粒子有波长的模型。1926年，路易-德布罗格利表明，所有的事物，不仅仅是光子，都有自己的频率。物质有波的性质，也有粒子的性质，就像光子一样。如果我们试图让质子这样的事物的波变得更窄、更高，那会让它的位置更清晰，但这样一来，动量就会变得不那么清晰了。如果我们试图让波的描述中的动量部分更清晰，即让它保持在一个更窄的数值范围内，那么波峰就会散开，它的位置就会变得不那么明确。

作为光子描述的一部分的波，在量子力学中，与海洋表面的波或压缩空气和稀薄空气组成的声波区域不是同一种东西。相反，这些波有峰值或高振幅区域，这与在空间和时间的那个点上找到东西的概率有关。更准确地说，是振幅的平方，给出了某种现象出现的概率。

适用于光子的波可能是一个纯正弦波。在这种情况下，每一个峰值的值的平方就会给出在该点观察到光子的概率。由于正弦波的振幅到处都是一样的，所以在每一个地方找到光子的概率也会是一样的。所以，实际上，知道其中一个光子的波，并不能提供在哪里寻找它的线索。另一方面，一个光子的动量在数学上与它的波的振幅有关。由于在这种情况下，我们有一个纯正弦波，波的每一个周期的振幅都是相同的，因此与这个波相关的动量值只有一个。我们不会知道光子会撞到哪里，但我们会确切地知道它的撞击力度。

在聚焦于检测屏幕上某一点的光束中，与光子相关的波不是纯正弦波。相反，它们是在某一点上具有高振幅的波，而在该最高峰两侧的振幅则低得多。在数学上，可以把这样的波分析成许多不同波长的正弦波。通过观察一个初始频率的正弦波，再加入第二个不同波长的正弦波，然后是第三个，第四个，依次类推，可以更容易地将这个过程反过来看。结果将是一个复杂的波，显示出一个高的峰值，并包含大量的不同波长的波，因此不同的动量。在这种情况下，光子出现在某一点的概率极高，但它所传递的动量可以变成与任何一个分量波的波长有关。换句话说，p=ħ/λ的值不再是一个单一的值，因为必须考虑到所有组合起来的"不同波长的波"的长度。

该模拟展示了如何在数学上模拟粒子位置的锐化。在原正弦波上叠加许多不同的波形。中心会形成一个越来越高的波峰，其余的波峰数量会增加，但高度会降低，因为它们会相互干扰。所以最后在叠加中会有许多不同的波，每个波都有不同的波长和（由p=ħ/λ）不同的动量，但只有一个很高的峰值，一个越来越高和越来越窄的峰值，让我们越来越接近一个确定的位置。

为了使动量变得越来越明确，我们将不得不去掉越来越多的叠加正弦波，直到我们只剩下一个简单的正弦波。这样一来，我们就会逐渐降低中心峰的高度，并逐渐增加人们可能发现粒子的竞争场所的高度。

所以，当我们从亚原子粒子的波图开始时，我们通常总是会处理中心峰比较高、分量波长比较多的情况。在这种情况下，永远不会有一个准确的位置或准确的动量预测。如果数学模型是对真实世界的准确表述，那么任何光子或其他亚原子粒子都不会有确切的位置或确定的动量。当我们测量这样的粒子时，我们可以选择一种进一步挤压峰值并使其变窄的方法，也可以选择一种降低峰值并使分量波长均匀的方法。根据我们测量的内容和测量的方法，我们可以使我们的位置更加明确，也可以使我们的动量范围更窄。我们在设计实验的时候可以注意避免各种方式晃动仪器，但我们无法摆脱一开始就没有完全确定的事实。

多个平面波的叠加。随着许多波的加入，波包变得越来越局部化。傅里叶变换是一种数学运算，它将一个波包分离成各个平面波。请注意，这里显示的波是真实的，只是为了说明问题，而在量子力学中，波函数一般是复杂的。

文化影响

海森堡不确定性原理最重要的影响是对意志自由的争论。在经典物理学的理论下，可以认为因果律是不可阻挡的，一旦宇宙以某种方式开始，未来所有物质和能量的相互作用都可以从这个初始状态计算出来。他们认为，既然一切事物都绝对是之前的结果，那么人类所做的每一个决定，以及人类所进入的每一个情境，自始至终都是预定的。那么，我们对自己的所作所为就别无选择了。

相信意志自由的人认为，量子力学定律并不能预测会发生什么，而只能预测什么更多，什么更不可能发生。因此，每一个行动都是一系列随机"掷硬币"的结果，任何决定都无法追溯到一套必要的前提条件。

"量子飞跃"和"量子跳跃"这两个词已经成为人们谈论事物的普通方式。通常人们打算将某件事情描述为涉及在短时间内发生的巨大变化。这个术语实际上适用于电子在原子中的行为方式，要么是当它吸收了一个从外面进来的光子，因此从围绕原子核的一个轨道跳到了一个更高的轨道，要么是当它发射一个光子，因此从一个更高的轨道落到了一个更低的轨道。尼尔斯-玻尔和他的同事们的想法是，电子不会在轨道之间移动，而是从一个轨道上消失，瞬间出现在另一个轨道上。所以量子跳跃其实并不是什么惊天动地的变化，而是突然从一个领域到另一个领域的一个小变化。

当人类对亚原子尺度上的某些过程进行测量时，不确定性原理表现出来，那么可以说人类的行为影响了被测量的事物。进行测量的目的是为了得到一个粒子位置的明确指示，必然会影响到它的动量，无论做什么事情，在测量出它的位置后，尽快测量出这个动量，那么发现什么动量的概率就不能不发生变化。所以，不确定性原理可以解释研究者产生的一些影响实验或观测结果的干扰。但是，并不是所有的观察者效应都是由于量子效应或不确定性原理造成的。其余的是"观察者效应"，但不是量子不确定性效应。

观察者效应包括在我们普通人的事件规模内运作的各种事物。如果一个人类学家试图清楚地了解一个原始社会的生活，但他或她的存在让他或她所访问的社区感到不安，那么所做的观察可能会非常误导。然而，相关的相互作用都没有发生在量子力学或不确定性原理所描述的水平上。

有时，"量子"一词会被用于广告目的，以表示某种新的和强大的东西。例如，小型汽油发动机制造商Briggs and Stratton有一个四缸低马力发动机系列，用于汽油割草机和类似的花园工具，它称之为"量子"。

更多阅读

• 介绍量子理论，第115页和第158页。

J.P. McEvoy和Oscar Zarate.