注射函数

正式的。

f :A → B {displaystyle f:Arightarrow B} 是一个注入函数，如果∀ a 1, a 2, ∈ A, a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle\forall a_{1},\a_{1},a_{2},a_{1},a_{1}neq a_{2},a_{2},a_{1},f(a_{1})neq f(a_{2})} 或等价地

f :A → B {displaystyle f:Aright\arrow B} 是一个注入函数，如果∀ a 1 , a 2 , ∈ A 。f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\Rightarrow \,a_{1}=a_{2}}.

如果f ( a ) = b {displaystyle f(a)=b} ，元素a {displaystyle a} 被称为元素b {displaystyle b} 的前像。对于B中的每一个元素b，注入物都有一个或没有预像。

心数是指一个集合中元素的数量。A={X,Y,Z,W}的cardinality是4，我们写#A=4。

• 如果码域的cardinality小于域的cardinality，函数就不能是注入。(例如，没有办法将6个元素映射到5个元素而不发生重复。)

基本功能

让f(x):ℝ→ℝ是实值参数x的实值函数y=f(x)（这意味着输入和输出都是实数）。

• 图形意义。如果每条水平线与f的图形最多相交一个点，那么函数f就是一个注入。
• 代数意义。如果f(x_o )=f(x₁ )意味着x_o =x₁ ，则函数f是一个注入。

例子。斜线的线性函数是1-1。也就是说，y=ax+b，其中a≠0是一个注入。(它也是一个抛射，因此是一个双射)。

证明。设x_o 和x₁ 是实数。假设直线将这两个x值映射到同一个y值。这意味着a-x_o +b=a-x₁ +b。从两边减去b。我们得到a-x_o =a-x₁ 。现在两边都除以a（记住a≠0）。我们得到x_o =x₁ 。所以我们已经证明了形式上的定义和函数y=ax+b，其中a≠0是一个注入。

例子。三等分的多项式函数：f(x)=x³ 是一个注入。然而，三等分的多项式函数：f(x)=x³ -3x不是注入。

讨论1：任何一条水平线都与以下图形相交

f(x)=x³ ，正好一次。(而且，它是一个抛射。）

讨论 2.y=-2和y=2之间的任何一条水平线都与图形相交于三点，所以这个函数不是一个注入。(然而，它是一个抛射。）

例子。二次函数f(x)=x² ，不是注入。

讨论。任何水平线y=c，其中c>0，都会与图形相交于两点。所以这个函数不是一个注入。(同时，它也不是一个抛射函数）。

注：人们可以通过消除部分域来使一个非注入函数变成注入函数。我们把这称为限制域。例如，将f(x)=x²的域限制为非负数（正数和零）。定义

f / [ 0 , + ∞ )( x ) : [ 0 , + ∞ )→ R {displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )rightarrow\mathbf {R} } 其中f / [ 0 , + ∞ )( x ) = x 2 {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}.

这个函数现在是一个注入。(参见函数的限制)。

例子。指数函数 f(x) = 10^x 是一个注入。(然而，它不是一个抛射。)

讨论。任何一条水平线最多只与图形相交一个点。c>0的水平线y=c正好与图形相切。c≤0的水平线y=c不会在任何一点上与图形相切。

注意：指数函数是注入式的这一事实可以在计算中使用。

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {displaystyle a^{x_{0}=a^{x_{1}}\,\Rightarrow\,x_{0}=x_{1}, a>0}

例子：100=10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\Rightarrow \,2=x-3\,\Rightarrow \,x=5 }  

其他例子

例子。基数为10的对数函数f(x):(0,+∞)→ℝ，由f(x)=log(x)或y=log₁₀ (x)定义，是一个注入（和一个抛射）。(这就是10的反函数^x ）。

例子。将每个自然数n映射到2n的函数f:ℕ→ℕ是一个注入。每个偶数恰好有一个前像。每个奇数都没有前像。

• 函数（数学）
• 抛物线函数
• 双射函数