满射

正式的。

f :A → B {displaystyle f:A\rightarrow B}是一个射出函数，如果∀ b∈B ∃ a∈A {displaystyle \forall b\in B\,\,\exists a\in A}这样，f ( a ) = b 。{displaystyle f(a)=b\,.}

元素b {displaystyle b}被称为元素a {displaystyle a}的图像。

• 形式上的定义意味着。码域B的每个元素都是码域A中至少一个元素的图像。

元素a {displaystyle a}被称为元素b {displaystyle b}的前像。

• 形式上的定义是指。码域B的每个元素在码域A中至少有一个前像。

一个预像不一定是唯一的。在上图中，{X}和{Y}都是元素{1}的预映像。唯一重要的是，至少有一个前像。(参见：射出函数、双射出函数)

基本功能

让f(x):ℝ→ℝ是一个实值参数x的实值函数y=f(x)（这意味着输入和输出都是数字）。

• 图形意义。如果每条水平线至少与f的图形相交一个点，那么函数f就是一个投影。
• 分析的意义。如果对于每一个实数y_o，我们可以找到至少一个实数x_o，使y_o=f(x_o)，那么函数f就是一个投影。

例子。斜线的线性函数是to。也就是说，y=ax+b，其中a≠0是一个抛射。(它也是一个注入，因此是一个双射。)

证明。将y_o代入函数并求解x。由于a≠0，我们得到x=（y_o-b）/_a。这意味着x_o=(y-_ob)/_a是y的前像_o。这证明了函数y=ax+b，其中a≠0是一个射影。(由于正好有一个前像，这个函数也是一个注入。）

实际例子：y= -2x+4。什么是y=2的前像？解。这里a= -2，即a≠0，问题是。y=2对哪个x来说是？我们将y=2代入函数。我们得到x=1，即y(1)=2。所以答案是：x=1是y=2的前像。

例子:三次多项式(三度)f(x)=x-³3x是一个抛射。

讨论。三次方程x-³3x-y_o=0有实系数（a=₃1，a=₂0，a=-₁3，a=-₀y_o）。每个这样的三次方程都至少有一个实数根。由于多项式的域是ℝ，这意味着域中至少有一个前象x_o。也就是说，(x)₀-³3x₀-y_o=0，所以这个函数是一个抛射。(然而，这个函数不是一个注入。例如，y=_o2有两个前像：x=-1和x=2。事实上，每个y，-2≤y≤2都至少有2个前映像）。

例子。二次函数f(x)=x²不是一个投影。没有一个x能使x²=-1。x²的范围是[0,+∞] ，即非负数的集合。(另外，这个函数不是一个注入函数）。

注：我们可以通过将一个非射影函数的子域限制在其范围内的元素来使其成为一个射影。例如，新的函数f(_Nx):ℝ → [0,+∞)，其中f_N(x)=x²是一个抛射函数。(这与限制域的函数的限制不一样！)

例子。指数函数f(x)=10^x不是一个射影。的范围是(10^x0,+∞)，也就是正数的集合。(这个函数是一个注入。)

其他有实值函数的例子

例子。以10为基数的对数函数f(x):(0,+∞)→ℝ，由f(x)=log(x)或y=log₁₀(x)定义，是一个抛射（和一个注入）。(这就是10^x的反函数）。

• 笛卡尔乘积A×B对其一个因子的投影是一个投影。

例子。由z=y定义的函数f((x,y)):ℝ²→ℝ是一个抛射。它的图形是3维空间的一个平面。z的前_o像是xy0平面上的直线y_o=z。

• 在3D游戏中，3维空间被投射到2维屏幕上的投影。

• 函数（数学）
• 注射函数
• 双射函数